10. Sınıf Gerçek Sayılarda Tanımlı Karekök Fonksiyonlar ve Nitel Özellikleri Test 1

f(x) = √(x-1) - √(5-x) fonksiyonu için aşağıdakilerden hangisi yanlıştır?

A) Tanım kümesi [1,5]'tir
B) x=3 için fonksiyon değeri 0'dır
C) Görüntü kümesi [-2,2]'dir
D) Fonksiyon tüm tanım kümesinde azalandır

Merhaba sevgili öğrenciler!

Bu soruda, verilen bir fonksiyonun tanım kümesi, belirli bir noktadaki değeri, görüntü kümesi ve monotonluğu (artan veya azalan olma durumu) ile ilgili dört ifadeyi değerlendireceğiz. Hangi ifadenin yanlış olduğunu bulmak için her bir seçeneği adım adım inceleyelim.

• A) Tanım kümesi $[1,5]$'tir

  Bir karekök ifadesinin tanımlı olabilmesi için kök içindeki ifadenin sıfırdan büyük veya sıfıra eşit olması gerekir. Fonksiyonumuz $f(x) = \sqrt{x-1} - \sqrt{5-x}$ şeklinde iki karekök içeriyor.

  • Birinci kök için: $x-1 \ge 0 \Rightarrow x \ge 1$
  • İkinci kök için: $5-x \ge 0 \Rightarrow 5 \ge x \Rightarrow x \le 5$

  Her iki koşulun da aynı anda sağlanması gerektiği için, $x$ değeri $1$ ile $5$ arasında olmalıdır. Yani, $1 \le x \le 5$. Bu da tanım kümesinin kapalı aralık $[1,5]$ olduğunu gösterir.

  Bu nedenle, A seçeneği DOĞRUDUR.

• B) $x=3$ için fonksiyon değeri $0$'dır

  Fonksiyonda $x$ yerine $3$ yazarak değerini bulalım:

  $f(3) = \sqrt{3-1} - \sqrt{5-3}$

  $f(3) = \sqrt{2} - \sqrt{2}$

  $f(3) = 0$

  Bu nedenle, B seçeneği DOĞRUDUR.

• C) Görüntü kümesi $[-2,2]$'dir

  Görüntü kümesini bulmak için fonksiyonun tanım kümesi üzerindeki en küçük ve en büyük değerlerini bulmamız gerekir. Fonksiyonun artan mı yoksa azalan mı olduğunu anlamak için türevini alalım:

  $f'(x) = \frac{d}{dx} (\sqrt{x-1} - \sqrt{5-x})$

  $f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x-1}} - \frac{-1}{2\sqrt{5-x}}$

  $f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x-1}} + \frac{1}{2\sqrt{5-x}}$

  Tanım kümesi olan $[1,5]$ aralığının içindeki her $x$ değeri için ($1 < x < 5$), hem $\sqrt{x-1}$ hem de $\sqrt{5-x}$ pozitif değerler alacaktır. Dolayısıyla, $\frac{1}{2\sqrt{x-1}}$ ve $\frac{1}{2\sqrt{5-x}}$ ifadeleri de pozitif olacaktır.

  Bu durumda, $f'(x) > 0$ olur. Türevin pozitif olması, fonksiyonun tüm tanım kümesinde kesinlikle artan olduğu anlamına gelir.

  Kesinlikle artan bir fonksiyonun görüntü kümesi, tanım kümesinin uç noktalarındaki değerleri alarak bulunur:

  • Minimum değer ($x=1$ için): $f(1) = \sqrt{1-1} - \sqrt{5-1} = \sqrt{0} - \sqrt{4} = 0 - 2 = -2$
  • Maksimum değer ($x=5$ için): $f(5) = \sqrt{5-1} - \sqrt{5-5} = \sqrt{4} - \sqrt{0} = 2 - 0 = 2$

  Dolayısıyla, fonksiyonun görüntü kümesi $[-2,2]$'dir.

  Bu nedenle, C seçeneği DOĞRUDUR.

• D) Fonksiyon tüm tanım kümesinde azalandır

  C seçeneğini incelerken bulduğumuz gibi, fonksiyonun türevi $f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x-1}} + \frac{1}{2\sqrt{5-x}}$ idi. Bu türev, tanım kümesinin içindeki her noktada pozitif değerler alır ($f'(x) > 0$).

  Türevi pozitif olan bir fonksiyon artandır. Dolayısıyla, fonksiyonun tüm tanım kümesinde azalan olduğu ifadesi yanlıştır.

  Bu nedenle, D seçeneği YANLIŞTIR.

Yaptığımız analizlere göre A, B ve C seçenekleri doğru, D seçeneği ise yanlıştır. Soru bizden yanlış olan seçeneği bulmamızı istediği için, doğru cevap D seçeneği olmalıdır.

Cevap C seçeneğidir.