f(x) = √(x²+6x+9) fonksiyonunun en sade şekli ve tanım kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
A) f(x) = x+3, tanım kümesi: R
B) f(x) = |x+3|, tanım kümesi: R
C) f(x) = x+3, tanım kümesi: [-3, ∞)
D) f(x) = |x+3|, tanım kümesi: [-3, ∞)
Merhaba sevgili öğrenciler!
Bugün, köklü bir fonksiyonun en sade şeklini bulmayı ve tanım kümesini belirlemeyi öğreneceğiz. Adım adım ilerleyerek bu soruyu kolayca çözeceğiz.
- Adım 1: Karekök İçindeki İfadeyi Sadeleştirme
- Bize verilen fonksiyon $f(x) = \sqrt{x^2+6x+9}$ şeklindedir.
- Öncelikle karekök içindeki ifadeye, yani $x^2+6x+9$ ifadesine odaklanalım. Bu ifade tanıdık geliyor mu?
- Bu ifade bir tam kare açılımıdır. Hatırlayalım ki $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$ şeklindedir.
- Burada $a=x$ ve $b=3$ alırsak, $(x+3)^2 = x^2+2(x)(3)+3^2 = x^2+6x+9$ olduğunu görürüz.
- O halde, fonksiyonumuzu $f(x) = \sqrt{(x+3)^2}$ şeklinde yazabiliriz.
- Adım 2: Karekökten Çıkarma ve Mutlak Değer Kuralı
- Şimdi $\sqrt{(x+3)^2}$ ifadesini sadeleştirmemiz gerekiyor.
- Karekökün çok önemli bir kuralı vardır: $\sqrt{a^2} = |a|$'dır. Yani bir sayının karesinin karekökü, o sayının mutlak değerine eşittir. Bu kuralı unutmayalım!
- Bu kuralı uygulayarak, $\sqrt{(x+3)^2} = |x+3|$ elde ederiz.
- Böylece fonksiyonumuzun en sade şekli $f(x) = |x+3|$ olur.
- Adım 3: Fonksiyonun Tanım Kümesini Belirleme
- Bir karekök fonksiyonunun tanımlı olabilmesi için karekök içindeki ifadenin sıfırdan büyük veya sıfıra eşit olması gerekir. Yani $\sqrt{g(x)}$ fonksiyonu için $g(x) \ge 0$ olmalıdır.
- Bizim orijinal fonksiyonumuzda karekök içindeki ifade $x^2+6x+9$'du. Tanım kümesi için $x^2+6x+9 \ge 0$ olmalıdır.
- Biz bu ifadeyi $(x+3)^2$ olarak sadeleştirmiştik. Yani $(x+3)^2 \ge 0$ eşitsizliğini çözmemiz gerekiyor.
- Bir sayının karesi (gerçek sayılar kümesinde) her zaman sıfırdan büyük veya sıfıra eşittir. Örneğin, $(-5)^2 = 25$, $(0)^2 = 0$, $(5)^2 = 25$.
- Bu durumda, $(x+3)^2$ ifadesi her zaman sıfırdan büyük veya sıfıra eşit olacaktır, $x$ yerine hangi gerçek sayıyı koyarsak koyalım.
- Dolayısıyla, bu fonksiyon tüm gerçek sayılar için tanımlıdır. Gerçek sayılar kümesi $R$ ile gösterilir.
- Tanım kümemiz $R$'dir.
- Adım 4: Seçenekleri Değerlendirme
- Fonksiyonun en sade şekli: $f(x) = |x+3|$
- Fonksiyonun tanım kümesi: $R$
- Şimdi seçeneklere bakalım:
- A) $f(x) = x+3$, tanım kümesi: $R$ (En sade şekli yanlış)
- B) $f(x) = |x+3|$, tanım kümesi: $R$ (Hem en sade şekli hem de tanım kümesi doğru)
- C) $f(x) = x+3$, tanım kümesi: $[-3, \infty)$ (Hem en sade şekli hem de tanım kümesi yanlış)
- D) $f(x) = |x+3|$, tanım kümesi: $[-3, \infty)$ (Tanım kümesi yanlış)
Doğru seçenek B seçeneğidir.
