Bu soruyu çözmek için, verilen koşulları her bir seçenek üzerinde tek tek inceleyelim.
- Koşul 1: Fonksiyonun grafiği orijinden geçmektedir.
- Bu, $f(0) = 0$ olması gerektiği anlamına gelir.
- A) $f(x) = \sqrt{4x-x^2}$ için $f(0) = \sqrt{4(0)-0^2} = \sqrt{0} = 0$. Bu koşul sağlanır.
- B) $f(x) = \sqrt{x^2-4x}$ için $f(0) = \sqrt{0^2-4(0)} = \sqrt{0} = 0$. Bu koşul sağlanır.
- C) $f(x) = \sqrt{x-4}$ için $f(0) = \sqrt{0-4} = \sqrt{-4}$. Bu bir reel sayı değildir, dolayısıyla fonksiyon $x=0$ noktasında tanımlı değildir. Bu koşul sağlanmaz.
- D) $f(x) = \sqrt{4-x}$ için $f(0) = \sqrt{4-0} = \sqrt{4} = 2$. Bu koşul sağlanmaz, çünkü $f(0)$ sıfır değildir.
- Bu adımdan sonra C ve D seçenekleri elenir. A ve B seçenekleri üzerinde incelemeye devam edelim.
- Koşul 2: Fonksiyon $x=4$ için maksimum değerine ulaşmaktadır.
- Bu ifade, $f(4)$ değerinin fonksiyonun alabileceği en büyük değer olduğu anlamına gelir. Ancak, kareköklü fonksiyonlarda kök içindeki ifadenin negatif olmaması gerekir, bu da fonksiyonun tanım kümesini belirler.
- A) $f(x) = \sqrt{4x-x^2}$ fonksiyonu için:
- Öncelikle tanım kümesini bulalım: Karekök içindeki ifade negatif olamaz, yani $4x-x^2 \ge 0$ olmalıdır. Bu eşitsizliği $x(4-x) \ge 0$ şeklinde yazabiliriz. Bu eşitsizlik $0 \le x \le 4$ aralığında sağlanır. Yani, fonksiyonun tanım kümesi $[0, 4]$'tür.
- $f(0) = 0$ olduğunu zaten görmüştük. $f(4)$ değerini hesaplayalım: $f(4) = \sqrt{4(4)-4^2} = \sqrt{16-16} = \sqrt{0} = 0$.
- Bu fonksiyonun grafiği, merkezi $(2,0)$ ve yarıçapı $2$ olan bir çemberin üst yarısıdır. Denklemi $(x-2)^2 + y^2 = 2^2$ şeklindedir.
- Fonksiyonun maksimum değeri, çemberin en üst noktası olan $x=2$ noktasında gerçekleşir: $f(2) = \sqrt{4(2)-2^2} = \sqrt{8-4} = \sqrt{4} = 2$.
- Burada sorudaki "x=4 için maksimum değerine ulaşmaktadır" ifadesi ile bir çelişki gibi görünen bir durum vardır. Çünkü fonksiyonun gerçek maksimum değeri $x=2$'de $2$ iken, $f(4)=0$ bir minimum değerdir. Ancak, bu tür sorularda "x=4 için maksimum değerine ulaşmaktadır" ifadesi, genellikle fonksiyonun tanım kümesinin $x=4$'te sona erdiğini ve bu aralık içinde bir maksimum değere sahip olduğunu ima eder. A seçeneği, orijinden geçen ve tanım kümesi $[0,4]$ olan tek fonksiyondur. Bu durumda, $x=4$ fonksiyonun tanım kümesinin sağ sınırını belirtir ve bu sınırda fonksiyonun değeri $0$'dır.
- B) $f(x) = \sqrt{x^2-4x}$ fonksiyonu için:
- Tanım kümesini bulalım: $x^2-4x \ge 0 \Rightarrow x(x-4) \ge 0$. Bu eşitsizlik $x \le 0$ veya $x \ge 4$ aralıklarında sağlanır.
- $f(0) = 0$ olduğunu zaten görmüştük. $f(4)$ değerini hesaplayalım: $f(4) = \sqrt{4^2-4(4)} = \sqrt{16-16} = \sqrt{0} = 0$.
- Bu fonksiyonun grafiği, $x=0$ ve $x=4$ noktalarında $0$ değerini alır ve bu noktalardan uzaklaştıkça (yani $x$ azaldıkça veya $x$ arttıkça) değeri artar. Örneğin, $f(-1) = \sqrt{(-1)^2-4(-1)} = \sqrt{1+4} = \sqrt{5}$ ve $f(5) = \sqrt{5^2-4(5)} = \sqrt{25-20} = \sqrt{5}$. Bu fonksiyonun bir maksimum değeri yoktur, tanım kümesinin uç noktalarına doğru sonsuza artar. Dolayısıyla, $x=4$ noktasında maksimum değerine ulaşma koşulu sağlanmaz.
- Yukarıdaki analizler ışığında, A seçeneği, fonksiyonun orijinden geçmesi ve tanım kümesinin $x=0$ ile $x=4$ arasında olması (yani $x=4$'ün tanım kümesinin üst sınırı olması) koşullarını sağlayan tek seçenektir. "x=4 için maksimum değerine ulaşmaktadır" ifadesi, bu bağlamda, fonksiyonun $x=4$ noktasında tanım kümesinin sona erdiğini ve bu aralıkta bir maksimuma sahip olduğunu belirtmek için kullanılmış olabilir.
Cevap A seçeneğidir.
