Sevgili öğrenciler, bu soruda iki fonksiyonun bileşkesinin tanım kümesini bulmamız isteniyor. Bileşke fonksiyonların tanım kümesini bulurken dikkat etmemiz gereken iki temel kural vardır. Gelin bu kuralları adım adım uygulayarak soruyu çözelim.
- 1. Adım: Bileşke Fonksiyonun Tanım Kümesi Kuralını Anlayalım
-
Bir $(g \circ f)(x)$ bileşke fonksiyonunun tanım kümesi, aşağıdaki iki koşulu sağlayan tüm $x$ değerlerinden oluşur:
- $x$ değeri, içteki fonksiyon olan $f(x)$'in tanım kümesinde olmalıdır.
- $f(x)$'in çıktısı (yani $f(x)$'in kendisi), dıştaki fonksiyon olan $g(x)$'in tanım kümesinde olmalıdır.
- 2. Adım: $f(x)$ Fonksiyonunun Tanım Kümesini Bulalım
-
$f(x) = \sqrt{x-2}$ fonksiyonu verilmiş.
Kareköklü bir ifadenin tanımlı olabilmesi için kökün içindeki ifadenin sıfırdan büyük veya sıfıra eşit olması gerekir.
Bu durumda, $x-2 \ge 0$ olmalıdır.
Eşitsizliği çözersek: $x \ge 2$.
Yani, $f(x)$ fonksiyonunun tanım kümesi $[2, \infty)$'dur. Bu, $x$ için ilk kısıtlamamızdır.
- 3. Adım: $g(x)$ Fonksiyonunun Tanım Kümesini Bulalım
-
$g(x) = x^2-1$ fonksiyonu verilmiş.
Bu bir polinom fonksiyondur. Polinom fonksiyonlar tüm reel sayılar için tanımlıdır.
Yani, $g(x)$ fonksiyonunun tanım kümesi $(-\infty, \infty)$'dur.
- 4. Adım: Bileşke Fonksiyon $(g \circ f)(x)$'i Oluşturalım (İsteğe Bağlı Ama Faydalı)
-
$(g \circ f)(x) = g(f(x))$ demektir.
$f(x)$'i $g(x)$'in içine yazarsak:
$g(f(x)) = g(\sqrt{x-2})$
$g(u) = u^2-1$ olduğu için, $g(\sqrt{x-2}) = (\sqrt{x-2})^2 - 1$
$(g \circ f)(x) = (x-2) - 1 = x-3$.
Gördüğümüz gibi, bileşke fonksiyonun kendisi $x-3$ gibi basit bir doğrusal fonksiyon çıktı. Ancak, bileşke fonksiyonun tanım kümesini bulurken, orijinal $f(x)$'in ve $g(x)$'in kısıtlamalarını göz önünde bulundurmak zorundayız. Sadece son haldeki $x-3$ fonksiyonuna bakarsak, tanım kümesini tüm reel sayılar zannedebiliriz ki bu yanlış olur.
- 5. Adım: Bileşke Fonksiyonun Tanım Kümesini Belirleyelim
-
İlk adımda belirttiğimiz iki kuralı uygulayalım:
- Kural 1: $x$, $f(x)$'in tanım kümesinde olmalıdır.
- 2. adımdan biliyoruz ki $x \ge 2$ olmalıdır.
- Kural 2: $f(x)$, $g(x)$'in tanım kümesinde olmalıdır.
- $f(x) = \sqrt{x-2}$'dir.
- 3. adımdan biliyoruz ki $g(x)$'in tanım kümesi tüm reel sayılardır $(-\infty, \infty)$.
- Bu durumda, $\sqrt{x-2}$ ifadesinin bir reel sayı olması yeterlidir. $\sqrt{x-2}$ ifadesi, $x \ge 2$ olduğu sürece her zaman bir reel sayı (ve hatta negatif olmayan bir reel sayı) olacaktır. Dolayısıyla, bu kural, $x \ge 2$ kısıtlamasını değiştirmez, sadece onaylar.
- 6. Adım: Kısıtlamaları Birleştirelim
-
Her iki kuraldan gelen tek kısıtlama $x \ge 2$'dir.
Bu da tanım kümesinin $[2, \infty)$ olduğunu gösterir.
Bu durumda, $(g \circ f)(x)$ fonksiyonunun tanım kümesi $[2, \infty)$'dur.
Cevap A seçeneğidir.
