10. Sınıf Trigonometrik Özdeşlikler Nelerdir? Test 2

\( \tan{x} \) aşağıdakilerden hangisine eşittir?

A) \( \frac{\sin{x}}{\cos{x}} \)
B) \( \frac{\cos{x}}{\sin{x}} \)
C) \( \frac{1}{\sin{x}} \)
D) \( \frac{1}{\cos{x}} \)

Merhaba sevgili öğrenciler!

Bugün trigonometrinin temel oranlarından biri olan tanjant fonksiyonunun ( $ \tan{x} $ ) neye eşit olduğunu adım adım inceleyeceğiz. Bu, trigonometriyi anlamanın ve ileri konulara geçmenin anahtarlarından biridir.

• Trigonometrik Oranları Hatırlayalım:

  Bir dik üçgende, bir açının trigonometrik oranları, üçgenin kenar uzunlukları arasındaki ilişkileri ifade eder. $x$ açısı için bu oranlar şunlardır:

  • $ \sin{x} $ (sinüs $x$): Karşı Dik Kenar Uzunluğu / Hipotenüs Uzunluğu
  • $ \cos{x} $ (kosinüs $x$): Komşu Dik Kenar Uzunluğu / Hipotenüs Uzunluğu
  • $ \tan{x} $ (tanjant $x$): Karşı Dik Kenar Uzunluğu / Komşu Dik Kenar Uzunluğu

  Gördüğünüz gibi, $ \tan{x} $ doğrudan karşı dik kenarın komşu dik kenara oranıdır.

• $ \tan{x} $ ifadesini $ \sin{x} $ ve $ \cos{x} $ cinsinden yazma:

  Şimdi, $ \tan{x} $ ifadesini $ \sin{x} $ ve $ \cos{x} $ kullanarak nasıl elde edebileceğimize bakalım. Bunun için $ \sin{x} $ ve $ \cos{x} $ oranlarını birbirine bölelim:

  $ \frac{\sin{x}}{\cos{x}} = \frac{\text{Karşı Dik Kenar / Hipotenüs}}{\text{Komşu Dik Kenar / Hipotenüs}} $

  Bu kesirli ifadeyi daha basit hale getirmek için, paydadaki "Hipotenüs" terimlerini sadeleştirebiliriz. Bir kesri diğerine bölerken, birinci kesri ikinci kesrin tersiyle çarparız:

  $ \frac{\sin{x}}{\cos{x}} = \frac{\text{Karşı Dik Kenar}}{\text{Hipotenüs}} \times \frac{\text{Hipotenüs}}{\text{Komşu Dik Kenar}} $

  Hipotenüsler birbirini götürdüğünde geriye kalan ifade şudur:

  $ \frac{\sin{x}}{\cos{x}} = \frac{\text{Karşı Dik Kenar}}{\text{Komşu Dik Kenar}} $

• Sonucu Karşılaştırma:

  Yukarıdaki adımdan elde ettiğimiz $ \frac{\text{Karşı Dik Kenar}}{\text{Komşu Dik Kenar}} $ ifadesi, tam olarak $ \tan{x} $'in tanımına eşittir. Yani:

  $ \tan{x} = \frac{\sin{x}}{\cos{x}} $

• Seçenekleri Değerlendirme:

  Şimdi seçeneklerimize bakalım:

  • A) $ \frac{\sin{x}}{\cos{x}} $ - Bu, bizim bulduğumuz ifadeyle aynıdır.
  • B) $ \frac{\cos{x}}{\sin{x}} $ - Bu ifade $ \cot{x} $ (kotanjant $x$) olarak bilinir.
  • C) $ \frac{1}{\sin{x}} $ - Bu ifade $ \csc{x} $ (kosekant $x$) olarak bilinir.
  • D) $ \frac{1}{\cos{x}} $ - Bu ifade $ \sec{x} $ (sekant $x$) olarak bilinir.

Bu adımları takip ederek, $ \tan{x} $'in $ \frac{\sin{x}}{\cos{x}} $'e eşit olduğunu açıkça görmüş olduk.

Cevap A seçeneğidir.