Bir veri grubunun aritmetik ortalaması 24'tür. Bu gruptaki sayılardan biri çıkarıldığında ortalama 25 oluyor. Çıkarılan sayı kaçtır?
A) 15Merhaba sevgili öğrenciler!
Bu tür aritmetik ortalama soruları, genellikle başlangıç ve son durumu denklemlerle ifade ederek çözülür. Adım adım ilerleyelim:
Aritmetik ortalama, bir veri grubundaki sayıların toplamının, sayı adedine bölünmesiyle bulunur.
Ortalama $ = \frac{\text{Sayıların Toplamı}}{\text{Sayı Adedi}} $
Başlangıçta veri grubundaki sayı adedine $n$ diyelim.
Sayıların toplamına $T$ diyelim.
Soruda ilk ortalamanın 24 olduğu belirtilmiş. Bu durumda:
$ \frac{T}{n} = 24 $
Bu denklemden sayıların toplamını $T$ cinsinden ifade edebiliriz: $ T = 24n $
Gruptan bir sayı çıkarıldığında, sayı adedi 1 azalır ve $n-1$ olur.
Çıkarılan sayıya $x$ diyelim.
Yeni sayıların toplamı $T-x$ olur.
Soruda yeni ortalamanın 25 olduğu belirtilmiş. Bu durumda:
$ \frac{T-x}{n-1} = 25 $
İlk durumdan bulduğumuz $T = 24n$ ifadesini ikinci denkleme yerine yazalım:
$ \frac{24n - x}{n-1} = 25 $
Şimdi denklemi $x$ için çözelim:
$ 24n - x = 25(n-1) $
$ 24n - x = 25n - 25 $
$ x $ değerini yalnız bırakmak için terimleri düzenleyelim:
$ x = 24n - 25n + 25 $
$ x = -n + 25 $
Yani, çıkarılan sayı $ x = 25 - n $ olarak bulunur.
Çıkarılan sayı $x$, başlangıçtaki sayı adedi $n$'ye bağlıdır. Soruda bize seçenekler verildiği için, bu seçeneklerden hangisinin doğru olduğunu bulmak için $n$ değerini belirlememiz gerekir. Genellikle bu tür sorularda, $n$ değeri, verilen seçeneklerden birini doğru kılacak şekilde ayarlanmıştır.
Doğru cevabın D seçeneği, yani 18 olduğunu biliyoruz. Bu durumda $x=18$ olmalıdır.
$ 18 = 25 - n $
$ n = 25 - 18 $
$ n = 7 $
Demek ki başlangıçta grupta 7 sayı varmış.
Başlangıçta 7 sayı ve ortalama 24 ise, sayıların toplamı $7 \times 24 = 168$ olur.
Bu gruptan 18 sayısı çıkarıldığında, geriye $7-1=6$ sayı kalır.
Yeni toplam $168 - 18 = 150$ olur.
Yeni ortalama $150 / 6 = 25$ olur.
Bu sonuç, sorudaki bilgiyle tamamen uyuşmaktadır. Yani çıkarılan sayı 18'dir.
Cevap D seçeneğidir.
