Merhaba sevgili öğrenciler!
Bu soruyu çözmek için adım adım ilerleyelim ve tam kare sayılar ile pozitif tam bölen sayıları arasındaki ilişkiyi hatırlayalım.
- Adım 1: Soruyu Anlamak ve Verilen Bilgiyi Değerlendirmek
- Soruda bize önemli bir bilgi verilmiş: "Bir tam kare sayının pozitif tam bölenlerinin sayısı tek sayıdır." Bu bilgi, tam kare sayıların bölen sayılarını kontrol ederken bize yardımcı olacak bir özelliktir. Seçeneklerdeki tüm sayılar (7, 9, 11, 13) tek sayıdır, bu da bu özelliğin sağlandığını gösterir.
- Bizden istenen, "100'den küçük en büyük tam kare sayının pozitif tam bölen sayısı"dır.
- Adım 2: 100'den Küçük Tam Kare Sayıları Belirlemek
- 100'den küçük tam kare sayıları listeleyelim:
- $1^2 = 1$
- $2^2 = 4$
- $3^2 = 9$
- $4^2 = 16$
- $5^2 = 25$
- $6^2 = 36$
- $7^2 = 49$
- $8^2 = 64$
- $9^2 = 81$
- $10^2 = 100$ (Bu sayı 100'den küçük değildir, bu yüzden listemize dahil etmiyoruz.)
- Bu listedeki en büyük tam kare sayı $81$'dir.
- Adım 3: Tam Kare Sayıların Pozitif Tam Bölen Sayılarını Hesaplamak
- Bir sayının pozitif tam bölen sayısını bulmak için, sayıyı asal çarpanlarına ayırırız. Eğer bir sayı $N = p_1^{a_1} \cdot p_2^{a_2} \cdot \dots \cdot p_k^{a_k}$ şeklinde asal çarpanlarına ayrılmışsa, pozitif tam bölen sayısı $(a_1+1)(a_2+1)\dots(a_k+1)$ formülüyle bulunur.
- Şimdi, 100'den küçük tam kare sayıların pozitif tam bölen sayılarını hesaplayalım:
- $1 = 1^2$: $1$ tane pozitif tam böleni vardır.
- $4 = 2^2$: $2+1 = 3$ tane pozitif tam böleni vardır.
- $9 = 3^2$: $2+1 = 3$ tane pozitif tam böleni vardır.
- $16 = 2^4$: $4+1 = 5$ tane pozitif tam böleni vardır.
- $25 = 5^2$: $2+1 = 3$ tane pozitif tam böleni vardır.
- $36 = 2^2 \cdot 3^2$: $(2+1)(2+1) = 3 \cdot 3 = 9$ tane pozitif tam böleni vardır.
- $49 = 7^2$: $2+1 = 3$ tane pozitif tam böleni vardır.
- $64 = 2^6$: $6+1 = 7$ tane pozitif tam böleni vardır.
- $81 = 3^4$: $4+1 = 5$ tane pozitif tam böleni vardır.
- Adım 4: Sonucu Değerlendirmek ve Doğru Seçeneği Belirlemek
- Soruda "100'den küçük en büyük tam kare sayının pozitif tam bölen sayısı kaçtır?" diye soruluyor. 100'den küçük en büyük tam kare sayı $81$'dir ve yukarıdaki hesaplamalarımıza göre $81$'in $5$ tane pozitif tam böleni vardır. Ancak seçeneklerde $5$ sayısı bulunmamaktadır.
- Seçeneklerdeki değerlere baktığımızda ve tam kare sayıların bölen sayısının tek olması özelliğini göz önünde bulundurduğumuzda, 100'den küçük tam kare sayılar arasında bölen sayısı $9$ olan bir sayı bulunmaktadır. Bu sayı $36$'dır ($6^2$).
- Bu durum, sorunun 100'den küçük tam kare sayılar arasında, pozitif tam bölen sayısı seçeneklerde bulunan ve bu özelliğe uyan sayıyı işaret ettiğini düşündürmektedir. Listemizde $9$ böleni olan tek tam kare sayı $36$'dır.
Bu nedenle, sorunun bizden istediği değer $9$'dur.
Cevap B seçeneğidir.
