Çevresi 36 cm olan bir dikdörtgenin kenar uzunlukları santimetre cinsinden doğal sayıdır. Bu dikdörtgenin alanı en fazla kaç cm² olabilir?
A) 80Bu soruda, çevresi belirli olan bir dikdörtgenin alanının en fazla kaç olabileceğini bulacağız. Dikdörtgenin kenar uzunluklarının doğal sayı olması önemli bir ipucu. Haydi adım adım çözelim:
1. Adım: Dikdörtgenin kenar uzunlukları toplamını bulalım.
Bir dikdörtgenin çevresi, iki uzun kenarı ile iki kısa kenarının toplamıdır. Uzun kenara $a$ ve kısa kenara $b$ dersek, çevre formülü $2 \times (a + b)$ şeklindedir.
Soruda çevrenin $36$ cm olduğu verilmiş. O zaman:
$2 \times (a + b) = 36$ cm
Her iki tarafı $2$'ye bölersek, kenar uzunluklarının toplamını buluruz:
$a + b = \frac{36}{2}$
$a + b = 18$ cm
Bu, dikdörtgenin bir uzun kenarı ile bir kısa kenarının toplamının $18$ cm olduğu anlamına gelir.
2. Adım: Toplamı $18$ olan doğal sayı kenar çiftlerini belirleyelim.
Kenar uzunlukları doğal sayı olacağı için, $a$ ve $b$ yerine gelebilecek tüm doğal sayı çiftlerini düşünelim. (Unutmayın, kenar uzunlukları pozitif olmalıdır.)
Kenarlar $1$ cm ve $17$ cm olabilir. ($1+17=18$)
Kenarlar $2$ cm ve $16$ cm olabilir. ($2+16=18$)
Kenarlar $3$ cm ve $15$ cm olabilir. ($3+15=18$)
Kenarlar $4$ cm ve $14$ cm olabilir. ($4+14=18$)
Kenarlar $5$ cm ve $13$ cm olabilir. ($5+13=18$)
Kenarlar $6$ cm ve $12$ cm olabilir. ($6+12=18$)
Kenarlar $7$ cm ve $11$ cm olabilir. ($7+11=18$)
Kenarlar $8$ cm ve $10$ cm olabilir. ($8+10=18$)
Kenarlar $9$ cm ve $9$ cm olabilir. ($9+9=18$)
Bu listeyi oluştururken, bir kenarı azaltıp diğerini artırarak tüm olasılıkları gözden geçirdik.
3. Adım: Her bir kenar çifti için alanı hesaplayalım.
Bir dikdörtgenin alanı, uzun kenarı ile kısa kenarının çarpımıdır. Yani, Alan $= a \times b$ formülüyle bulunur. Şimdi yukarıdaki her bir çift için alanı hesaplayalım:
Kenarlar $1$ cm ve $17$ cm ise Alan $= 1 \times 17 = 17 \text{ cm}^2$
Kenarlar $2$ cm ve $16$ cm ise Alan $= 2 \times 16 = 32 \text{ cm}^2$
Kenarlar $3$ cm ve $15$ cm ise Alan $= 3 \times 15 = 45 \text{ cm}^2$
Kenarlar $4$ cm ve $14$ cm ise Alan $= 4 \times 14 = 56 \text{ cm}^2$
Kenarlar $5$ cm ve $13$ cm ise Alan $= 5 \times 13 = 65 \text{ cm}^2$
Kenarlar $6$ cm ve $12$ cm ise Alan $= 6 \times 12 = 72 \text{ cm}^2$
Kenarlar $7$ cm ve $11$ cm ise Alan $= 7 \times 11 = 77 \text{ cm}^2$
Kenarlar $8$ cm ve $10$ cm ise Alan $= 8 \times 10 = 80 \text{ cm}^2$
Kenarlar $9$ cm ve $9$ cm ise Alan $= 9 \times 9 = 81 \text{ cm}^2$
4. Adım: En büyük alanı belirleyelim.
Hesapladığımız alan değerlerine baktığımızda, en büyük değerin $81 \text{ cm}^2$ olduğunu görüyoruz. Bu durum, kenar uzunlukları $9$ cm ve $9$ cm olduğunda (yani dikdörtgen bir kare olduğunda) gerçekleşir.
Genel bir kural olarak, çevresi sabit olan dikdörtgenler arasında alanı en büyük olan şekil karedir. Kenar uzunlukları birbirine yaklaştıkça alan büyür, uzaklaştıkça küçülür.
Cevap B seçeneğidir.
