Merhaba sevgili öğrenciler!
Karekök içindeki bir sayıyı sadeleştirmek, o sayının çarpanları arasında tam kare olanları bulup kök dışına çıkarmak demektir. Amacımız, kök içinde mümkün olan en küçük sayıyı bırakmaktır.
Şimdi $\sqrt{48}$ sayısını adım adım sadeleştirelim:
- Adım 1: Kök içindeki sayının çarpanlarını bulalım.
- $48$ sayısının çarpanlarını düşünelim. Bu çarpanlar arasında tam kare olanları aramalıyız. Tam kare sayılar $1, 4, 9, 16, 25, 36, ...$ gibi sayılardır.
- $48$'in çarpanları şunlardır: $1 \times 48$, $2 \times 24$, $3 \times 16$, $4 \times 12$, $6 \times 8$.
- Adım 2: Çarpanlar arasından en büyük tam kareyi belirleyelim.
- Yukarıdaki çarpan çiftlerine baktığımızda, $16$ sayısının bir tam kare olduğunu ve $48$'in çarpanı olduğunu görüyoruz. Ayrıca $16$, $48$'in çarpanları arasındaki en büyük tam karedir ($4$ da tam kare ama $16$ daha büyük).
- Bu durumda $48$ sayısını $16 \times 3$ olarak yazabiliriz.
- Adım 3: Kök içindeki ifadeyi yeniden yazalım.
- $\sqrt{48} = \sqrt{16 \times 3}$
- Adım 4: Kök içindeki çarpımı ayrı ayrı kökler olarak ayıralım.
- Karekökün bir özelliği şudur: $\sqrt{a \times b} = \sqrt{a} \times \sqrt{b}$. Bu özelliği kullanarak ifademizi ayırabiliriz:
- $\sqrt{16 \times 3} = \sqrt{16} \times \sqrt{3}$
- Adım 5: Tam kare olan ifadenin karekökünü alalım.
- $\sqrt{16}$ ifadesinin değeri $4$'tür, çünkü $4 \times 4 = 16$'dır.
- Adım 6: Sonuçları birleştirelim.
- Şimdi bulduğumuz değerleri bir araya getirelim:
- $\sqrt{16} \times \sqrt{3} = 4 \times \sqrt{3} = 4\sqrt{3}$
Böylece $\sqrt{48}$ sayısının en sade biçimini $4\sqrt{3}$ olarak bulmuş olduk.
Seçeneklere baktığımızda:
- A) $4\sqrt{3}$
- B) $6\sqrt{2}$
- C) $8\sqrt{2}$
- D) $2\sqrt{12}$ (Bu seçenek de $4\sqrt{3}$'e eşittir, çünkü $2\sqrt{12} = 2\sqrt{4 \times 3} = 2 \times \sqrt{4} \times \sqrt{3} = 2 \times 2 \times \sqrt{3} = 4\sqrt{3}$. Ancak soruda "sadeleştirilmiş biçimi" istendiği için, kök içinde tam kare çarpan kalmayacak şekilde sadeleştirilmiş olan $4\sqrt{3}$ doğru cevaptır. $2\sqrt{12}$ ifadesi henüz tam sadeleştirilmemiştir.)
Cevap A seçeneğidir.
