Bir uzay gözlemevi, Güneş Sistemi dışındaki bir gezegenin (ötegezegen) kütlesinin Dünya'nın 15 katı, yarıçapının ise Dünya'nın 4 katı olduğunu tespit ediyor. Bu gezegenin yüzeyindeki yerçekimi ivmesi Dünya'nın yüzeyindeki yerçekimi ivmesinin kaç katıdır? (Yerçekimi ivmesi formülü: $g = \frac{GM}{R^2}$)
A) 0.94Bu soruda, bir ötegezegenin kütle ve yarıçap bilgilerini kullanarak yüzeyindeki yerçekimi ivmesinin Dünya'ya göre kaç kat olduğunu bulacağız. Yerçekimi ivmesi formülünü ($g = \frac{GM}{R^2}$) kullanarak adım adım ilerleyelim.
Dünya'nın yüzeyindeki yerçekimi ivmesi ($g_E$) için verilen formülü kullanalım:
$g_E = \frac{GM_E}{R_E^2}$
Burada $G$ evrensel çekim sabiti, $M_E$ Dünya'nın kütlesi ve $R_E$ Dünya'nın yarıçapıdır.
Ötegezegenin yüzeyindeki yerçekimi ivmesi ($g_p$) için de aynı formülü kullanalım, ancak gezegenin kütlesi ($M_p$) ve yarıçapı ($R_p$) ile:
$g_p = \frac{GM_p}{R_p^2}$
Soruda verilen bilgilere göre, ötegezegenin kütlesi Dünya'nın 15 katıdır ($M_p = 15M_E$) ve yarıçapı Dünya'nın 4 katıdır ($R_p = 4R_E$).
Bu değerleri $g_p$ formülünde yerine yazalım:
$g_p = \frac{G(15M_E)}{(4R_E)^2}$
Parantez içindeki ifadeyi açalım:
$g_p = \frac{G \cdot 15M_E}{16R_E^2}$
Bu ifadeyi Dünya'nın yerçekimi ivmesi formülüne benzetmek için yeniden düzenleyelim:
$g_p = \frac{15}{16} \cdot \frac{GM_E}{R_E^2}$
Şimdi, ötegezegenin yerçekimi ivmesinin Dünya'nın yerçekimi ivmesinin kaç katı olduğunu bulmak için $g_p$'yi $g_E$'ye bölelim:
$\frac{g_p}{g_E} = \frac{\frac{15}{16} \cdot \frac{GM_E}{R_E^2}}{\frac{GM_E}{R_E^2}}$
Gördüğünüz gibi, $\frac{GM_E}{R_E^2}$ terimleri hem pay hem de paydada olduğu için sadeleşecektir:
$\frac{g_p}{g_E} = \frac{15}{16}$
Son olarak, bu kesri ondalık sayıya çevirelim:
$\frac{15}{16} = 0.9375$
Bu değeri en yakın iki ondalık basamağa yuvarlarsak $0.94$ elde ederiz.
Buna göre, ötegezegenin yüzeyindeki yerçekimi ivmesi Dünya'nın yüzeyindeki yerçekimi ivmesinin yaklaşık $0.94$ katıdır.
Cevap A seçeneğidir.
