9. Bir iş yerinde çalışan sayısı ile üretim miktarı arasında doğrusal bir ilişki vardır. 10 çalışan günde 200 birim, 15 çalışan günde 300 birim üretim yapmaktadır. Buna göre, 25 çalışan günde kaç birim üretim yapar?
A) 450Merhaba sevgili öğrenciler, bu soruda bir iş yerindeki çalışan sayısı ile üretim miktarı arasındaki doğrusal ilişkiyi kullanarak belirli bir çalışan sayısına karşılık gelen üretim miktarını bulacağız. Doğrusal ilişki demek, iki nicelik arasındaki değişimin sabit bir oranla gerçekleştiği anlamına gelir. Yani, çalışan sayısı arttıkça üretim de belirli bir düzenle artar.
Soruda verilen bilgiye göre, çalışan sayısı ile üretim miktarı arasında doğrusal bir ilişki vardır. Bu tür ilişkileri genellikle $y = mx + b$ şeklinde bir denklemle ifade ederiz. Burada $Ç$ (Çalışan sayısı) bağımsız değişkenimiz, yani $x$ yerine geçiyor. $Ü$ (Üretim miktarı) bağımlı değişkenimiz, yani $y$ yerine geçiyor. $m$ eğimdir ve çalışan başına düşen üretim miktarını (birim üretim/çalışan) gösterir. $b$ ise $y$-kesenidir ve çalışan sayısı sıfır olduğunda (yani hiç çalışan yokken) bile olabilecek sabit bir üretim miktarını veya başlangıç değerini ifade eder. Denklemimiz $Ü = m \cdot Ç + b$ şeklinde olacaktır.
Soruda bize iki durum verilmiş:
1. 10 çalışan günde 200 birim üretim yapıyor. Bu bilgiyi denklemimize yerleştirirsek: $200 = m \cdot 10 + b$ (Denklem 1)
2. 15 çalışan günde 300 birim üretim yapıyor. Bu bilgiyi de denklemimize yerleştirirsek: $300 = m \cdot 15 + b$ (Denklem 2)
Şimdi elimizde $m$ ve $b$ bilinmeyenlerini içeren iki denklem var. Bu bir denklem sistemidir.
Bu iki denklemi çözerek $m$ ve $b$ değerlerini bulabiliriz. Denklem 1'i Denklem 2'den çıkaralım:
$(300 - 200) = (15m + b) - (10m + b)$
$100 = 15m - 10m + b - b$
$100 = 5m$
Her iki tarafı 5'e bölersek:
$m = \frac{100}{5}$
$m = 20$
Şimdi $m = 20$ değerini Denklem 1'e (veya Denklem 2'ye) yerleştirerek $b$ değerini bulalım:
$200 = 20 \cdot 10 + b$
$200 = 200 + b$
$b = 200 - 200$
$b = 0$
Bu durumda $m = 20$ ve $b = 0$ bulduk. $m=20$ demek, her bir çalışanın günde 20 birim üretim yaptığı anlamına gelir. $b=0$ ise, çalışan sayısı sıfır olduğunda üretimin de sıfır olduğunu gösterir ki bu da mantıklıdır.
Bulduğumuz $m$ ve $b$ değerlerini genel denklemimize yerleştirelim:
$Ü = 20 \cdot Ç + 0$
Yani, $Ü = 20 \cdot Ç$
Bu denklem, herhangi bir çalışan sayısına karşılık gelen üretim miktarını bulmamızı sağlayacak ana formülümüzdür.
Şimdi sorunun bizden istediği gibi, 25 çalışan olduğunda kaç birim üretim yapılacağını bulalım. Denkleme $Ç = 25$ değerini yerleştiriyoruz:
$Ü = 20 \cdot 25$
$Ü = 500$
Yani, 25 çalışan günde 500 birim üretim yapar.
Cevap B seçeneğidir.
