Merhaba sevgili öğrenciler!
Bu soruda, varyansın temel özelliklerinden birini kullanarak bir üretim hattındaki makinelerin günlük üretim miktarlarındaki değişimi inceleyeceğiz. Adım adım ilerleyelim:
-
1. Soruyu Anlayalım:
Bize verilen bilgiler şunlar:
- 8 makine var (makine sayısı varyans hesaplamasında doğrudan kullanılmaz, ancak bağlamı belirtir).
- Günlük üretim miktarlarının varyansı $64$'tür. Bu, veri setimizin (üretim miktarları) ne kadar dağınık olduğunu gösteren bir ölçüdür.
- Üretim miktarlarının her biri $\%25$ artırılıyor. Bu, her bir veri noktasının belirli bir oranda değiştiği anlamına gelir.
Bizden istenen ise, bu değişiklikten sonraki yeni varyans değeridir.
-
2. Varyansın Özelliğini Hatırlayalım:
İstatistik derslerinden hatırlayacağımız önemli bir varyans özelliği vardır:
- Eğer bir veri setindeki her bir değeri $a$ gibi bir sabit sayıyla çarparsak, yeni varyans eski varyansın $a^2$ katı olur. Matematiksel olarak ifade edersek, eğer $Var(X)$ bir veri setinin varyansı ise ve her bir değeri $a$ ile çarparak yeni bir veri seti $aX$ oluşturursak, yeni varyans $Var(aX) = a^2 Var(X)$ olur.
- Eğer bir veri setindeki her bir değere $b$ gibi bir sabit sayı eklersek (veya çıkarırsak), varyans değişmez. Yani, $Var(X+b) = Var(X)$. Çünkü varyans, verilerin ortalamadan ne kadar saptığını ölçer ve tüm verilere aynı sabiti eklemek, ortalamayı da aynı miktarda kaydırır, dolayısıyla sapmaların büyüklüğü değişmez.
-
3. Değişimi Matematiksel Olarak İfade Edelim:
Soruda, üretim miktarlarının her birinin $\%25$ artırıldığı belirtiliyor. Bu ne anlama geliyor?
- Eğer bir makinenin önceki üretim miktarı $X$ ise, yeni üretim miktarı $X'$ olacaktır.
- $\%25$ artış demek, miktarın kendisine ek olarak miktarın $\%25$'i kadar daha eklenmesi demektir.
- Yani, $X' = X + 0.25X$.
- Bu ifadeyi sadeleştirirsek, $X' = 1X + 0.25X = (1 + 0.25)X = 1.25X$ olur.
- Burada, her bir üretim miktarı $1.25$ ile çarpılmıştır. Yani, varyans özelliğimizdeki $a$ değeri $1.25$'tir.
-
4. Yeni Varyansı Hesaplayalım:
Şimdi varyans özelliğini kullanarak yeni varyansı bulabiliriz:
- Eski varyans $Var(X) = 64$ olarak verilmişti.
- Yeni üretim miktarı $X' = 1.25X$ olduğuna göre, yeni varyans $Var(X') = Var(1.25X)$ olacaktır.
- Varyans özelliğine göre, $Var(1.25X) = (1.25)^2 Var(X)$ olur.
- Şimdi değerleri yerine koyalım: $Var(X') = (1.25)^2 \times 64$.
- $1.25$'in karesini alalım: $(1.25)^2 = 1.5625$.
- Yeni varyans $Var(X') = 1.5625 \times 64$.
- Bu çarpma işlemini yaparsak: $1.5625 \times 64 = 100$.
- Alternatif olarak, $1.25 = \frac{5}{4}$ olarak yazabiliriz. O zaman $(1.25)^2 = (\frac{5}{4})^2 = \frac{25}{16}$ olur.
- Yeni varyans $Var(X') = \frac{25}{16} \times 64 = 25 \times \frac{64}{16} = 25 \times 4 = 100$.
Buna göre, üretim miktarlarının her biri $\%25$ artırıldığında, yeni varyans $100$ olur.
Cevap C seçeneğidir.
