Aşağıdaki eşitliklerden hangisi yanlıştır?
A) \( 90^\circ = \frac{\pi}{2} \) radyan
B) \( 180^\circ = \pi \) radyan
C) \( 360^\circ = 2\pi \) radyan
D) \( 270^\circ = \frac{3\pi}{4} \) radyan
Merhaba sevgili öğrenciler!
Açı ölçü birimleri olan derece ve radyan arasında dönüşüm yapmak, trigonometri ve birçok matematiksel konuda temel bir beceridir. Bu soruda, verilen eşitliklerden hangisinin yanlış olduğunu bulmamız isteniyor. Derece ve radyan arasındaki temel dönüşüm kuralını kullanarak her bir seçeneği adım adım inceleyelim.
- Temel Dönüşüm Kuralı: Derece ve radyan arasındaki en önemli ilişki şudur: $180^\circ = \pi$ radyan. Bu kuralı kullanarak diğer açıları kolayca dönüştürebiliriz.
- A) $90^\circ = \frac{\pi}{2}$ radyan eşitliğini inceleyelim:
- Temel kuralımız $180^\circ = \pi$ radyan idi.
- Eşitliğin her iki tarafını $2$'ye bölersek: $\frac{180^\circ}{2} = \frac{\pi}{2}$ radyan elde ederiz.
- Bu da $90^\circ = \frac{\pi}{2}$ radyan demektir. Bu eşitlik DOĞRUDUR.
- B) $180^\circ = \pi$ radyan eşitliğini inceleyelim:
- Bu, derece ve radyan arasındaki temel dönüşüm kuralının kendisidir.
- Bu eşitlik DOĞRUDUR.
- C) $360^\circ = 2\pi$ radyan eşitliğini inceleyelim:
- Temel kuralımız $180^\circ = \pi$ radyan idi.
- Eşitliğin her iki tarafını $2$'yle çarparsak: $2 \times 180^\circ = 2 \times \pi$ radyan elde ederiz.
- Bu da $360^\circ = 2\pi$ radyan demektir. Bu eşitlik DOĞRUDUR.
- D) $270^\circ = \frac{3\pi}{4}$ radyan eşitliğini inceleyelim:
- $270^\circ$ açısını radyana çevirmek için yine temel kuralı kullanabiliriz.
- $180^\circ = \pi$ radyan olduğunu biliyoruz.
- $1^\circ = \frac{\pi}{180}$ radyan olur.
- O zaman $270^\circ = 270 \times \frac{\pi}{180}$ radyan olur.
- Sadeleştirme yaparsak: $270^\circ = \frac{270}{180}\pi = \frac{27}{18}\pi = \frac{3 \times 9}{2 \times 9}\pi = \frac{3}{2}\pi$ radyan.
- Yani, $270^\circ = \frac{3\pi}{2}$ radyan olmalıdır.
- Ancak seçenekte $270^\circ = \frac{3\pi}{4}$ radyan olarak verilmiştir.
- $\frac{3\pi}{2}$ radyan ile $\frac{3\pi}{4}$ radyan birbirine eşit değildir. Bu eşitlik YANLIŞTIR.
Yukarıdaki incelemeler sonucunda, D seçeneğindeki eşitliğin yanlış olduğunu görmüş olduk.
Cevap D seçeneğidir.
