6. sınıf matematik bölünebilme kuralları etkinlik / çalışma kağıdı Test 2

Bir torbadaki bilyeler 4'erli, 5'erli ve 6'şarlı sayıldığında her seferinde 2 bilye artıyor.
Torbadaki bilye sayısı 200'den fazla olduğuna göre, en az kaç bilye vardır?

A) 240
B) 242
C) 360
D) 362

Merhaba sevgili öğrenciler! Bu problem, hem temel matematik bilgimizi hem de mantıksal düşünme yeteneğimizi kullanmamızı gerektiren güzel bir EKOK (En Küçük Ortak Kat) problemidir. Adım adım nasıl çözeceğimizi birlikte inceleyelim:

• Problemi Anlayalım:

  Soruda bize verilen bilgi, torbadaki bilye sayısının 4'erli, 5'erli ve 6'şarlı sayıldığında her seferinde 2 bilye arttığıdır. Bu ne anlama geliyor? Eğer bilye sayısından 2 çıkarırsak, kalan bilye sayısı hem 4'e, hem 5'e hem de 6'ya tam bölünebilir demektir. Yani, bilye sayımız $N$ ise, $N-2$ sayısı 4, 5 ve 6'nın ortak bir katı olmalıdır.

• En Küçük Ortak Katı (EKOK) Bulalım:

  4, 5 ve 6'nın ortak katlarını bulmak için öncelikle bu sayıların En Küçük Ortak Katı'nı (EKOK) bulmalıyız. EKOK, bu sayıların bölünebildiği en küçük pozitif tam sayıdır.

  • 4'ün asal çarpanları: $2 \times 2 = 2^2$
  • 5'in asal çarpanları: $5^1$
  • 6'nın asal çarpanları: $2 \times 3 = 2^1 \times 3^1$

  EKOK'u bulmak için, tüm asal çarpanları en yüksek üsleriyle çarparız:

  EKOK(4, 5, 6) $= 2^2 \times 3^1 \times 5^1 = 4 \times 3 \times 5 = 60$.

  Bu, $N-2$ sayısının 60'ın bir katı olması gerektiği anlamına gelir. Yani, $N-2 = 60k$ şeklinde yazabiliriz (burada $k$ bir pozitif tam sayıdır).

• Bilye Sayısı İçin Genel İfadeyi Yazalım:

  $N-2 = 60k$ ise, bilye sayısı $N = 60k + 2$ şeklinde ifade edilebilir. Bu ifade, 4, 5 ve 6'ya bölündüğünde her zaman 2 kalanını veren tüm sayıları temsil eder.

• Koşulu Uygulayalım:

  Soruda bize önemli bir bilgi daha verilmiş: "Torbadaki bilye sayısı 200'den fazla olduğuna göre..." Bu koşulu kullanarak $k$ değerini bulmalıyız.

  $N > 200$ olduğu için, $60k + 2 > 200$ eşitsizliğini çözmeliyiz.

  • $60k > 200 - 2$
  • $60k > 198$
  • $k > \frac{198}{60}$
  • $k > 3.3$
• En Küçük Bilye Sayısını Bulalım:

  $k$ bir tam sayı olmak zorunda olduğu için, 3.3'ten büyük en küçük tam sayı $k=4$'tür. Şimdi bu $k$ değerini $N = 60k + 2$ formülünde yerine koyarak en az kaç bilye olduğunu bulabiliriz:

  $N = 60 \times 4 + 2$

  $N = 240 + 2$

  $N = 242$

• Cevabı Kontrol Edelim:

  Bulduğumuz 242 sayısını kontrol edelim:

  • 242'yi 4'e bölersek: $242 = 4 \times 60 + 2$ (kalan 2, doğru)
  • 242'yi 5'e bölersek: $242 = 5 \times 48 + 2$ (kalan 2, doğru)
  • 242'yi 6'ya bölersek: $242 = 6 \times 40 + 2$ (kalan 2, doğru)
  • 242 sayısı 200'den büyük mü? Evet, büyük.

  Tüm koşulları sağladığına göre, cevabımız 242'dir.

Cevap B seçeneğidir.