🎓 Cebir nedir Test 2 - Ders Notu
Bu ders notu, "Cebir nedir Test 2" testinde karşılaşabileceğin temel cebir konularını sade bir dille özetlemektedir. Test genellikle birinci dereceden denklemler, eşitsizlikler, üslü ve köklü ifadeler üzerine odaklanır.
📌 Birinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler
Denklemler, bilinmeyeni (genellikle $x$ veya $y$) bulmaya çalıştığımız matematiksel eşitliklerdir. Birinci dereceden demek, bilinmeyenin en büyük üssünün 1 olması demektir.
- Amaç: Bilinmeyeni eşitliğin bir tarafında yalnız bırakmaktır.
- Temel Kural: Eşitliğin her iki tarafına aynı işlemi uygularsan (toplama, çıkarma, çarpma, bölme) eşitlik bozulmaz.
- Terimlerin Taşınması: Bir terimi eşitliğin diğer tarafına atarken işaretini değiştiririz. (Örn: $x + 3 = 5 \implies x = 5 - 3$)
- Parantez Açma: Parantez dışındaki sayıyı parantez içindeki her terimle çarparız. (Örn: $2(x+3) = 2x + 6$)
- Kesirli Denklemler: Paydaları eşitleyerek veya tüm terimleri paydaların EKOK'u ile çarparak paydalardan kurtulabiliriz.
💡 İpucu: Denklem çözdükten sonra bulduğun değeri orijinal denkleme koyarak sonucunun doğru olup olmadığını kontrol edebilirsin!
📝 Örnek: $3x - 5 = x + 7$ denklemini çözelim.
$3x - x = 7 + 5$
$2x = 12$
$x = \frac{12}{2}$
$x = 6$
📌 Birinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Eşitsizlikler
Eşitsizlikler, denklemlere benzer ancak eşitlik yerine bir aralığı ifade eder. Yani bilinmeyenin tek bir değeri değil, belirli bir aralıktaki tüm değerleri çözüm kümesini oluşturur.
- Eşitsizlik Sembolleri:
- $<$ : Küçüktür (Örn: $x < 5$ demek, $x$'in 5'ten küçük tüm sayılar olduğu anlamına gelir.)
- $>$ : Büyüktür (Örn: $x > 5$ demek, $x$'in 5'ten büyük tüm sayılar olduğu anlamına gelir.)
- $\le$ : Küçük veya eşittir
- $\ge$ : Büyük veya eşittir
- Çözüm Adımları: Denklemlerdeki gibi terim taşıma ve işlem yapma kuralları geçerlidir.
- ⚠️ Dikkat: Eşitsizliğin her iki tarafını negatif bir sayı ile çarpar veya bölersen, eşitsizlik yön değiştirir! (Örn: $-2x < 6 \implies x > -3$)
- Sayı Doğrusunda Gösterme: Çözüm kümesini sayı doğrusu üzerinde aralık olarak gösterebiliriz. Eğer eşitsizlikte eşitlik yoksa ($<$ veya $>$), uç nokta boş daire ile, varsa ($\le$ veya $\ge$) dolu daire ile gösterilir.
📝 Örnek: $2x + 3 \le 9$ eşitsizliğini çözelim.
$2x \le 9 - 3$
$2x \le 6$
$x \le \frac{6}{2}$
$x \le 3$ (Çözüm kümesi: $3$ ve $3$'ten küçük tüm sayılar)
📌 Üslü İfadeler
Üslü ifadeler, bir sayının kendisiyle tekrar tekrar çarpılmasının kısa yoludur. Bir $a$ sayısının $n$ defa kendisiyle çarpılması $a^n$ şeklinde gösterilir.
- Taban ve Üs: $a^n$ ifadesinde $a$ taban, $n$ ise üs (kuvvet) olarak adlandırılır.
- Pozitif Üs: $2^3 = 2 \times 2 \times 2 = 8$
- Negatif Üs: Bir sayının negatif üssü, o sayının çarpmaya göre tersinin pozitif üssüdür. $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$ (Örn: $2^{-3} = \frac{1}{2^3} = \frac{1}{8}$)
- Sıfır Üs: Sıfır hariç her sayının sıfırıncı kuvveti 1'dir. $a^0 = 1$ ($a \ne 0$)
- Üslü İfadelerde Çarpma: Tabanlar aynıysa üsler toplanır. $a^m \times a^n = a^{m+n}$
- Üslü İfadelerde Bölme: Tabanlar aynıysa üsler çıkarılır. $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$
- Üssün Üssü: Bir üslü ifadenin tekrar üssü alınırken üsler çarpılır. $(a^m)^n = a^{m \times n}$
💡 İpucu: Negatif üs sadece sayıyı ters çevirir, işaretini değiştirmez. Yani $(-2)^{-3} = \frac{1}{(-2)^3} = \frac{1}{-8}$ olur.
📌 Köklü İfadeler
Köklü ifadeler, üslü ifadelerin tersidir. Bir sayının hangi sayının karesi, küpü vb. olduğunu bulmamızı sağlar. Genellikle karekök ($\sqrt{a}$) ve küpkök ($\sqrt[3]{a}$) ile karşılaşılır.
- Karekök: Bir sayının karekökü, kendisiyle çarpıldığında o sayıyı veren pozitif sayıdır. (Örn: $\sqrt{25} = 5$ çünkü $5 \times 5 = 25$)
- Tam Kare Sayılar: Bir sayının karesi olan sayılara tam kare sayılar denir. (Örn: $1, 4, 9, 16, 25, \dots$)
- Kök Dışına Çıkarma: Kök içindeki bir sayıyı, çarpanlarından tam kare olanları kök dışına çıkararak sadeleştirebiliriz. (Örn: $\sqrt{12} = \sqrt{4 \times 3} = \sqrt{4} \times \sqrt{3} = 2\sqrt{3}$)
- Köklü İfadelerde Toplama/Çıkarma: Sadece kök içleri ve kök dereceleri aynı olan ifadeler toplanıp çıkarılabilir. (Örn: $3\sqrt{2} + 5\sqrt{2} = 8\sqrt{2}$)
- Köklü İfadelerde Çarpma/Bölme: Kök dereceleri aynı olan ifadelerde, kök içleri kendi aralarında çarpılır/bölünür. (Örn: $\sqrt{2} \times \sqrt{3} = \sqrt{2 \times 3} = \sqrt{6}$)
- Paydayı Rasyonel Yapma: Paydada köklü ifade varsa, paydayı kendisiyle veya eşleniğiyle çarparak kökten kurtulabiliriz. (Örn: $\frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{1 \times \sqrt{2}}{\sqrt{2} \times \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$)
⚠️ Dikkat: Negatif sayıların karekökü reel sayılar kümesinde tanımlı değildir (Örn: $\sqrt{-4}$ reel sayı değildir).
📝 Örnek: $\sqrt{50} + \sqrt{18}$ işlemini yapalım.
$\sqrt{50} = \sqrt{25 \times 2} = 5\sqrt{2}$
$\sqrt{18} = \sqrt{9 \times 2} = 3\sqrt{2}$
$5\sqrt{2} + 3\sqrt{2} = 8\sqrt{2}$
