Bir doğal sayının asal çarpanları 2, 3 ve 5'tir. Bu sayı 90'dan büyük ve 150'den küçük olduğuna göre, sayı aşağıdakilerden hangisi olabilir?
A) 100
B) 120
C) 135
D) 140
Merhaba sevgili öğrenciler!
Bu soruda, bir doğal sayının asal çarpanlarının ne anlama geldiğini ve verilen koşullara uyan sayıyı nasıl bulacağımızı adım adım inceleyeceğiz. Haydi başlayalım!
- Adım 1: Asal Çarpanlar Ne Anlama Gelir?
- Bir doğal sayının asal çarpanları 2, 3 ve 5 ise, bu sayı sadece bu asal sayıların çarpımından oluşur. Yani, sayının içinde 2, 3 ve 5'ten başka hiçbir asal çarpan bulunmaz.
- Bu sayıyı matematiksel olarak $2^a \cdot 3^b \cdot 5^c$ şeklinde ifade edebiliriz, burada $a, b, c$ en az 1 olan pozitif tam sayılardır. Çünkü 2, 3 ve 5'in her birinin çarpan olarak bulunması gerekir.
- Adım 2: En Küçük Sayıyı Bulma
- Asal çarpanları 2, 3 ve 5 olan en küçük doğal sayı, bu asal çarpanların her birini en az birer kez çarparak bulunur: $2 \cdot 3 \cdot 5 = 30$.
- Şimdi, 30'un katlarını veya 30'un üzerine 2, 3, 5 çarpanlarını ekleyerek 90 ile 150 arasındaki sayıları arayacağız.
- Adım 3: Belirtilen Aralıktaki Sayıları Araştırma
- Sayı 90'dan büyük ve 150'den küçük olmalıdır. Yani $90 < \text{Sayı} < 150$ koşulunu sağlamalıdır.
- 30'un katlarını veya 30'un asal çarpanlarını (2, 3, 5) kullanarak oluşturabileceğimiz sayıları inceleyelim:
- $2 \cdot 3 \cdot 5 = 30$ (90'dan küçük)
- $2^2 \cdot 3 \cdot 5 = 4 \cdot 3 \cdot 5 = 60$ (90'dan küçük)
- $2 \cdot 3^2 \cdot 5 = 2 \cdot 9 \cdot 5 = 90$ (90'dan büyük değil)
- $2^3 \cdot 3 \cdot 5 = 8 \cdot 3 \cdot 5 = 120$ (Bu sayı 90'dan büyük ve 150'den küçüktür. Asal çarpanları da sadece 2, 3 ve 5'tir.)
- $2 \cdot 3 \cdot 5^2 = 2 \cdot 3 \cdot 25 = 150$ (150'den küçük değil)
- Bu durumda, 120 sayısı aradığımız koşullara uyan bir adaydır. Şimdi seçenekleri kontrol edelim.
- Adım 4: Seçenekleri Kontrol Etme
- Her bir seçeneğin asal çarpanlarını bulalım ve hem 90 ile 150 arasında olup olmadığını hem de asal çarpanlarının sadece 2, 3 ve 5 olup olmadığını kontrol edelim:
- A) 100:
- $100 = 10 \cdot 10 = (2 \cdot 5) \cdot (2 \cdot 5) = 2^2 \cdot 5^2$.
- Asal çarpanları 2 ve 5'tir. 3 asal çarpanı yoktur. Bu yüzden doğru cevap olamaz.
- B) 120:
- $120 = 12 \cdot 10 = (2^2 \cdot 3) \cdot (2 \cdot 5) = 2^3 \cdot 3^1 \cdot 5^1$.
- Asal çarpanları 2, 3 ve 5'tir.
- Sayı 90'dan büyük ($120 > 90$) ve 150'den küçüktür ($120 < 150$).
- Bu seçenek tüm koşulları sağlamaktadır.
- C) 135:
- $135 = 5 \cdot 27 = 5 \cdot 3^3$.
- Asal çarpanları 3 ve 5'tir. 2 asal çarpanı yoktur. Bu yüzden doğru cevap olamaz.
- D) 140:
- $140 = 14 \cdot 10 = (2 \cdot 7) \cdot (2 \cdot 5) = 2^2 \cdot 5 \cdot 7$.
- Asal çarpanları 2, 5 ve 7'dir. 3 asal çarpanı yoktur ve 7 diye bir asal çarpanı vardır. Bu yüzden doğru cevap olamaz.
Yapılan incelemeler sonucunda, sadece 120 sayısının verilen tüm koşulları sağladığını görüyoruz.
Cevap B seçeneğidir.
