9. Sınıf Grup İçi Toplam Tokalaşma Sayısını Hesaplama (Algoritma) Nasıl? Test 2

Bir toplantıda herkes birbiriyle tokalaştığında toplam 45 tokalaşma olduğuna göre bu toplantıda kaç kişi vardır?

A) 9
B) 10
C) 11
D) 12

Merhaba sevgili öğrenciler! Bu problem, günlük hayatta karşılaşabileceğimiz bir durumu matematiksel olarak ifade etmemizi ve çözmemizi istiyor. Adım adım ilerleyerek bu tür problemleri nasıl çözeceğimizi öğrenelim.

• 1. Problemi Anlayalım:

  Soruda bize bir toplantıda herkesin birbiriyle tokalaştığı ve toplam 45 tokalaşma olduğu söyleniyor. Bizden istenen ise bu toplantıda kaç kişi olduğudur. "Herkes birbiriyle tokalaşıyor" demek, bir kişinin kendisi hariç diğer tüm kişilerle birer kez tokalaşması anlamına gelir. Ayrıca, A kişisinin B kişisiyle tokalaşması ile B kişisinin A kişisiyle tokalaşması aynı tokalaşma olayıdır, yani bu olayı iki kez saymamalıyız.

• 2. Basit Bir Örnekle Başlayalım ve Bir Kural Keşfedelim:

  Eğer toplantıda az sayıda kişi olsaydı, tokalaşma sayısı nasıl değişirdi bir bakalım:

  • 2 kişi varsa: Sadece 1 tokalaşma olur (kişi 1 ile kişi 2).
  • 3 kişi varsa: Kişi 1, kişi 2 ve kişi 3 ile tokalaşır. Kişi 2, kişi 3 ile tokalaşır (kişi 1 ile zaten tokalaşmıştı). Toplam 3 tokalaşma olur. (1-2, 1-3, 2-3)
  • 4 kişi varsa: Kişi 1, 3 kişiyle tokalaşır. Kişi 2, kalan 2 kişiyle tokalaşır. Kişi 3, kalan 1 kişiyle tokalaşır. Toplam $3+2+1 = 6$ tokalaşma olur.

  Bu örneklerden bir örüntü fark ettiniz mi? Eğer toplantıda $n$ kişi varsa, her bir kişi kendisi dışındaki $n-1$ kişiyle tokalaşır. Bu durumda $n$ kişinin her biri $n-1$ tokalaşma yaparsa, toplamda $n \cdot (n-1)$ tokalaşma olur gibi görünür. Ancak, yukarıda da belirttiğimiz gibi, A'nın B ile tokalaşması ile B'nin A ile tokalaşması aynı olaydır. Yani her tokalaşmayı iki kez saymış oluruz. Bu yüzden bulduğumuz $n \cdot (n-1)$ sonucunu 2'ye bölmemiz gerekir.

  O halde, $n$ kişi arasındaki toplam tokalaşma sayısını veren formül şudur:

  $\frac{n \cdot (n-1)}{2}$

• 3. Formülü Uygulayalım ve Denklemi Kuralım:

  Soruda bize toplam 45 tokalaşma olduğu verilmiş. Bu değeri formülümüze eşitleyelim:

  $\frac{n \cdot (n-1)}{2} = 45$

• 4. Denklemi Çözelim:

  Şimdi $n$ değerini bulmak için denklemi adım adım çözelim:

  • Eşitliğin her iki tarafını 2 ile çarpalım:
  • $n \cdot (n-1) = 45 \cdot 2$
  • $n \cdot (n-1) = 90$
  • Şimdi düşünelim: Hangi ardışık iki sayının çarpımı 90 eder? (Çünkü $n$ ve $n-1$ ardışık sayılardır.)
  • $9 \cdot 10 = 90$ olduğunu biliyoruz.
  • Bu durumda, $n-1 = 9$ ve $n = 10$ olmalıdır.
• 5. Cevabı Kontrol Edelim:

  Eğer toplantıda 10 kişi varsa, formülümüze göre tokalaşma sayısı:

  $\frac{10 \cdot (10-1)}{2} = \frac{10 \cdot 9}{2} = \frac{90}{2} = 45$

  Bulduğumuz sonuç, soruda verilen tokalaşma sayısıyla (45) aynıdır. Demek ki doğru yoldayız!

Bu toplantıda 10 kişi vardır.

Cevap B seçeneğidir.