10. Sınıf Faktöriyel Hesaplama Test 2

Bir otelde 3 yatak odalı bir suit vardır. 6 kişi bu suit için rezervasyon yaptırmıştır. Her odada en az bir kişi kalacağına göre, bu 6 kişi odalara kaç farklı şekilde yerleştirilebilir?

A) 90
B) 180
C) 360
D) 540

Bu problemde, 6 farklı kişiyi 3 farklı odaya, her odada en az bir kişi olacak şekilde yerleştirmemiz gerekiyor. Bu tür problemler genellikle "dahil etme-hariç tutma prensibi" ile çözülür.

• Adım 1: Toplam Yerleştirme Sayısını Bulma (Kısıtlama Olmadan)

Öncelikle, hiçbir kısıtlama olmasaydı 6 kişiyi 3 odaya kaç farklı şekilde yerleştirebileceğimizi hesaplayalım. Her bir kişinin 3 odadan birini seçme hakkı vardır:

• İlk kişi için 3 seçenek.
• İkinci kişi için 3 seçenek.
• ...
• Altıncı kişi için 3 seçenek.

Bu durumda, toplam yerleştirme sayısı $3 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3 = 3^6$ olacaktır.

$3^6 = 729$.

Bu sayı, odaların boş kalabileceği tüm olası yerleştirme şekillerini içerir.

• Adım 2: En Az Bir Odanın Boş Olduğu Durumları Hesaplama

Şimdi, her odada en az bir kişi kalması gerektiği kuralını ihlal eden durumları (yani, bir veya daha fazla odanın boş kaldığı durumları) toplamdan çıkarmamız gerekiyor.

• 2.1. Bir Odanın Boş Kaldığı Durumlar:

Önce hangi odanın boş kalacağını seçmeliyiz. 3 odadan 1'ini $\binom{3}{1}$ farklı şekilde seçebiliriz.

Örneğin, 1. oda boş kalsın. Geriye kalan 2 odaya (2. ve 3. odalar) 6 kişiyi yerleştirmemiz gerekir. Her bir kişi için 2 seçenek vardır (2. veya 3. oda). Yani $2^6$ farklı yerleştirme.

Bu durumların toplamı: $\binom{3}{1} \times 2^6 = 3 \times 64 = 192$.

• 2.2. İki Odanın Boş Kaldığı Durumlar:

Önce hangi iki odanın boş kalacağını seçmeliyiz. 3 odadan 2'sini $\binom{3}{2}$ farklı şekilde seçebiliriz.

Örneğin, 1. ve 2. odalar boş kalsın. Geriye kalan 1 odaya (3. oda) 6 kişiyi yerleştirmemiz gerekir. Her bir kişi için 1 seçenek vardır (sadece 3. oda). Yani $1^6$ farklı yerleştirme.

Bu durumların toplamı: $\binom{3}{2} \times 1^6 = 3 \times 1 = 3$.

• 2.3. Üç Odanın Boş Kaldığı Durumlar:

Önce hangi üç odanın boş kalacağını seçmeliyiz. 3 odadan 3'ünü $\binom{3}{3}$ farklı şekilde seçebiliriz.

Bu durumda, tüm odalar boş kalır ve 6 kişinin yerleşeceği bir oda kalmaz. Bu durum imkansızdır, yani 0 farklı yerleştirme vardır.

Bu durumların toplamı: $\binom{3}{3} \times 0^6 = 1 \times 0 = 0$.

• Adım 3: Dahil Etme-Hariç Tutma Prensibini Uygulama

Şimdi, Adım 1'deki toplam yerleştirme sayısından, Adım 2'de bulduğumuz "istenmeyen" durumları çıkaracağız. Dahil etme-hariç tutma prensibine göre, her odada en az bir kişi kalacak şekilde yerleştirme sayısı şu şekilde hesaplanır:

İstenen durum sayısı = (Toplam yerleştirme) - (1 odanın boş kaldığı durumlar) + (2 odanın boş kaldığı durumlar) - (3 odanın boş kaldığı durumlar)

• Toplam yerleştirme: $3^6 = 729$
• 1 odanın boş kaldığı durumlar: $\binom{3}{1}2^6 = 3 \times 64 = 192$
• 2 odanın boş kaldığı durumlar: $\binom{3}{2}1^6 = 3 \times 1 = 3$
• 3 odanın boş kaldığı durumlar: $\binom{3}{3}0^6 = 1 \times 0 = 0$

Her odada en az bir kişi kalacak şekilde yerleştirme sayısı:

$729 - 192 + 3 - 0$

$= 537 + 3$

$= 540$

Bu, 6 kişinin 3 odaya, her odada en az bir kişi olacak şekilde yerleştirilebileceği farklı yolların sayısıdır.

Cevap D seçeneğidir.