10. Sınıf Faktöriyel Hesaplama Test 2

$$\frac{(n+2)!}{(n-1)!} = 120$$ olduğuna göre, n kaçtır?

A) 2
B) 3
C) 4
D) 5

Merhaba sevgili öğrenciler!

Bu soruda faktöriyel kavramını kullanarak bir denklemi çözeceğiz. Adım adım ilerleyelim:

• 1. Faktöriyel Kavramını Hatırlayalım:

Bir sayının faktöriyeli, o sayıdan başlayarak 1'e kadar olan tüm tam sayıların çarpımıdır. Örneğin, $k! = k \times (k-1) \times (k-2) \times \dots \times 1$.

Bu tanıma göre, $(n+2)!$ ifadesini $(n-1)!$ cinsinden yazabiliriz:

$(n+2)! = (n+2) \times (n+1) \times n \times (n-1)!$

• 2. Denklemi Basitleştirelim:

Şimdi bu ifadeyi verilen denklemde yerine koyalım:

$\frac{(n+2)!}{(n-1)!} = 120$

$\frac{(n+2) \times (n+1) \times n \times (n-1)!}{(n-1)!} = 120$

Pay ve paydadaki $(n-1)!$ ifadeleri birbirini götürecektir (sadeleşecektir). Böylece denklemimiz daha basit bir hale gelir:

$(n+2) \times (n+1) \times n = 120$

• 3. n Değerini Bulalım:

Şimdi elimizde ardışık üç tam sayının çarpımının $120$ olduğu bir denklem var. Bu sayıların $n$, $(n+1)$ ve $(n+2)$ olduğunu unutmayalım.

Hangi ardışık üç sayının çarpımı $120$ eder diye düşünelim:

$1 \times 2 \times 3 = 6$

$2 \times 3 \times 4 = 24$

$3 \times 4 \times 5 = 60$

$4 \times 5 \times 6 = 120$

Gördüğümüz gibi, $4 \times 5 \times 6 = 120$ sonucunu elde ettik.

Bu durumda, $(n+2) \times (n+1) \times n = 6 \times 5 \times 4$ eşitliğini yazabiliriz.

Ardışık sayıları karşılaştırdığımızda:

$n = 4$

$n+1 = 5$

$n+2 = 6$

Her üç durumda da $n$ değeri $4$ olarak bulunur.

• 4. Cevabı Kontrol Edelim:

$n=4$ değerini orijinal denklemde yerine koyarak kontrol edelim:

$\frac{(4+2)!}{(4-1)!} = \frac{6!}{3!}$

$\frac{6!}{3!} = \frac{6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{3 \times 2 \times 1} = 6 \times 5 \times 4 = 120$

Sonuç $120$ olduğuna göre, $n=4$ doğru cevaptır.

Cevap C seçeneğidir.