p: "∃x ∈ Z, x² = 4" önermesinin olumsuzu aşağıdakilerden hangisidir?
A) ∀x ∈ Z, x² ≠ 4Sevgili öğrenciler, bu soruda bir önermenin olumsuzunu (değilini) bulmamız isteniyor. Mantıkta önermelerin olumsuzunu alma kurallarını hatırlayarak bu soruyu kolayca çözebiliriz.
Bize verilen önerme $p$: "$ \exists x \in Z, x^2 = 4 $" şeklindedir.
Bu önerme, "Bazı $x$ tam sayıları için $x^2 = 4$ eşitliği sağlanır." anlamına gelir. Yani, karesi 4 olan en az bir tam sayı vardır diyor. (Örneğin, $x=2$ veya $x=-2$ bu koşulu sağlayan tam sayılardır.)
Kuantörlü (niceleyicili) önermelerin olumsuzunu alırken iki temel kural vardır:
1. Niceleyiciyi Değiştirme: "Her" ($ \forall $) niceleyicisinin olumsuzu "Bazı" ($ \exists $) niceleyicisidir ve tam tersi. Yani, $ \neg (\forall x, P(x)) \equiv \exists x, \neg P(x) $ ve $ \neg (\exists x, P(x)) \equiv \forall x, \neg P(x) $.
2. Yüklemin Olumsuzunu Alma: Önermenin kendisinin (yükleminin) olumsuzunu alırız. Örneğin, $ P(x) $ önermesinin olumsuzu $ \neg P(x) $ olur. Eşitlik ($=$) işaretinin olumsuzu eşitsizlik ($\neq$) işaretidir.
Önermemiz $p$: "$ \exists x \in Z, x^2 = 4 $" idi. Bu önermenin olumsuzunu ($ \neg p $) alırken:
Adım 1: Niceleyiciyi Değiştirme. Önermedeki niceleyici " $ \exists $ " (bazı) olduğu için, olumsuzunu alırken bu niceleyiciyi " $ \forall $ " (her) olarak değiştirmeliyiz. Böylece " $ \exists x \in Z $ " ifadesi " $ \forall x \in Z $ " haline gelir.
Adım 2: Yüklemin Olumsuzunu Alma. Önermenin yüklemi " $ x^2 = 4 $ " ifadesidir. Bu ifadenin olumsuzu (değili), " $ x^2 \neq 4 $ " ( $x^2$ dörde eşit değildir) olur.
Bu iki değişikliği birleştirdiğimizde, $p$ önermesinin olumsuzu $ \neg p $: "$ \forall x \in Z, x^2 \neq 4 $" şeklinde bulunur.
Bulduğumuz olumsuz ifadeyi seçeneklerle karşılaştıralım:
A) $ \forall x \in Z, x^2 \neq 4 $
B) $ \exists x \in Z, x^2 \neq 4 $
C) $ \forall x \in Z, x^2 = 4 $
D) $ \exists x \in Z, x^2 = 2 $
Görüldüğü gibi, bulduğumuz olumsuz ifade ( $ \forall x \in Z, x^2 \neq 4 $ ), A seçeneğindeki ifade ile tamamen aynıdır.
Cevap A seçeneğidir.
