Bir doğal sayının 3'e bölümünden kalan 2, 5'e bölümünden kalan 3'tür. Buna göre bu sayının 15'e bölümünden kalan kaçtır?
A) 5Bu soruyu çözmek için, verilen bilgileri kullanarak sayının özelliklerini belirleyeceğiz ve ardından 15'e bölümünden kalanı bulacağız. Adım adım ilerleyelim:
1. Adım: Verilen Bilgileri Matematiksel Olarak İfade Etme
Aradığımız doğal sayıya $N$ diyelim. Sorudaki bilgileri matematiksel olarak şu şekilde ifade edebiliriz:
$N$'nin 3'e bölümünden kalan 2 ise, $N \equiv 2 \pmod{3}$ şeklinde yazılır. Bu, $N$ sayısının $3k + 2$ biçiminde bir sayı olduğu anlamına gelir, burada $k$ bir tam sayıdır.
$N$'nin 5'e bölümünden kalan 3 ise, $N \equiv 3 \pmod{5}$ şeklinde yazılır. Bu, $N$ sayısının $5m + 3$ biçiminde bir sayı olduğu anlamına gelir, burada $m$ bir tam sayıdır.
2. Adım: Her İki Koşulu Sağlayan En Küçük Sayıyı Bulma
Şimdi, $N = 3k + 2$ ifadesini kullanarak $N$ için bazı değerleri deneyelim ve bu değerlerden hangisinin 5'e bölümünden kalanın 3 olduğunu kontrol edelim:
Eğer $k=0$ ise, $N = 3(0) + 2 = 2$. ($2$'nin 5'e bölümünden kalan 2'dir, 3 değil.)
Eğer $k=1$ ise, $N = 3(1) + 2 = 5$. ($5$'in 5'e bölümünden kalan 0'dır, 3 değil.)
Eğer $k=2$ ise, $N = 3(2) + 2 = 8$. ($8$'in 5'e bölümünden kalan 3'tür. Bu koşulu sağlıyor!)
Gördüğümüz gibi, $N=8$ sayısı her iki koşulu da sağlamaktadır:
$8$'in 3'e bölümünden kalan 2'dir ($8 = 3 \times 2 + 2$).
$8$'in 5'e bölümünden kalan 3'tür ($8 = 5 \times 1 + 3$).
Bu, her iki koşulu da sağlayan en küçük pozitif doğal sayıdır.
3. Adım: Sayının 15'e Bölümünden Kalanı Bulma
Bizden bu sayının 15'e bölümünden kalanı bulmamız isteniyor. Bulduğumuz $N=8$ sayısını 15'e bölelim:
$8 \div 15 = 0$ ve kalan $8$'dir.
Yani, $N \equiv 8 \pmod{15}$ olur.
Unutmayın, bu tür problemlerde bulduğumuz en küçük sayı, genel çözümün bir parçasıdır. Eğer $N$ her iki koşulu da sağlıyorsa, $N + \text{EKOK}(3,5)$ veya $N + 15$ de bu koşulları sağlar. Örneğin, $8+15=23$ sayısı da aynı koşulları sağlar: $23 \equiv 2 \pmod{3}$ ve $23 \equiv 3 \pmod{5}$. Ancak 15'e bölümünden kalan her zaman aynı olacaktır.
Cevap C seçeneğidir.
