Bir öğrenci, elindeki kalemleri 8'erli grupladığında 5 kalem artıyor, 10'arlı grupladığında 7 kalem artıyor. Buna göre bu öğrencinin en az kaç kalemi vardır?
A) 35Bu tür sorular, bir sayının farklı bölenlere göre kalanlarını bulma üzerine kuruludur. Adım adım ilerleyerek bu soruyu kolayca çözebiliriz.
Öğrencinin kalem sayısına $K$ diyelim.
Soruda verilen bilgilere göre:
Kalemler 8'erli gruplandığında 5 kalem artıyor. Bu durumu matematiksel olarak şöyle ifade edebiliriz: $K = 8 \times (\text{bir sayı}) + 5$. Yani, $K$ sayısının 8 ile bölümünden kalan 5'tir.
Kalemler 10'arlı gruplandığında 7 kalem artıyor. Bu durumu da şöyle ifade edebiliriz: $K = 10 \times (\text{başka bir sayı}) + 7$. Yani, $K$ sayısının 10 ile bölümünden kalan 7'dir.
Şimdi kalanlara dikkatlice bakalım:
8'e bölündüğünde kalan 5. Eğer kalem sayısına 3 ekleseydik ($K+3$), 8'e tam bölünecekti ($8-5=3$).
10'a bölündüğünde kalan 7. Eğer kalem sayısına 3 ekleseydik ($K+3$), 10'a tam bölünecekti ($10-7=3$).
Gördüğümüz gibi, her iki durumda da kalem sayısına 3 eklediğimizde, sayı hem 8'e hem de 10'a tam bölünüyor. Bu çok önemli bir ipucu!
Eğer $K+3$ sayısı hem 8'e hem de 10'a tam bölünüyorsa, bu sayı 8 ve 10'un ortak katı olmalıdır. Bizden en az kalem sayısı istendiği için, 8 ve 10'un en küçük ortak katını (EKOK) bulmalıyız.
8'in katları: 8, 16, 24, 32, 40, 48, ...
10'un katları: 10, 20, 30, 40, 50, ...
Görüldüğü gibi, 8 ve 10'un en küçük ortak katı (EKOK) 40'tır. Yani, $\text{EKOK}(8, 10) = 40$.
Biz $K+3$ sayısının 8 ve 10'un ortak katı olduğunu bulmuştuk. En küçük kalem sayısını bulmak için, $K+3$'ün en küçük ortak kat olan 40'a eşit olması gerekir.
$K + 3 = 40$
Şimdi $K$'yı bulmak için 3'ü eşitliğin diğer tarafına atalım:
$K = 40 - 3$
$K = 37$
Bulduğumuz $K=37$ sayısını sorudaki şartlara göre kontrol edelim:
37 kalemi 8'erli gruplarsak: $37 \div 8 = 4$ (tam grup) ve $37 - (4 \times 8) = 37 - 32 = 5$ kalem artar. (Doğru!)
37 kalemi 10'arlı gruplarsak: $37 \div 10 = 3$ (tam grup) ve $37 - (3 \times 10) = 37 - 30 = 7$ kalem artar. (Doğru!)
Her iki koşulu da sağladığına göre, öğrencinin en az 37 kalemi vardır.
Cevap B seçeneğidir.
