Bir sayının 6'ya bölümünden kalan 4'tür. Buna göre bu sayının karesinin 12'ye bölümünden kalan kaçtır?
A) 0Bu tür sorular, modüler aritmetik konusunu anlamamızı gerektirir. Adım adım ilerleyerek soruyu kolayca çözebiliriz.
Soruda verilen bilgiye göre, bir sayının 6'ya bölümünden kalan 4'tür. Bu sayıyı $N$ ile gösterirsek, $N$ sayısını aşağıdaki gibi ifade edebiliriz:
$N = 6k + 4$
Burada $k$ bir tam sayıdır (örneğin $k=0$ için $N=4$, $k=1$ için $N=10$, $k=2$ için $N=16$ gibi).
Şimdi, bu sayının karesini almamız gerekiyor. Yani $N^2$ ifadesini bulacağız:
$N^2 = (6k + 4)^2$
Tam kare açılım formülünü hatırlayalım: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$. Bu formülü kullanarak $N^2$ ifadesini açalım:
$N^2 = (6k)^2 + 2 \cdot (6k) \cdot 4 + 4^2$
$N^2 = 36k^2 + 48k + 16$
Şimdi elde ettiğimiz $N^2 = 36k^2 + 48k + 16$ ifadesinin 12'ye bölümünden kalanı bulmalıyız. Bunun için her terimi 12'ye göre inceleyelim:
$36k^2$: $36$ sayısı 12'nin tam katıdır ($36 = 3 \times 12$). Dolayısıyla $36k^2$ ifadesi de 12'nin tam katıdır. Bu terimin 12'ye bölümünden kalan $0$'dır. Yani $36k^2 \equiv 0 \pmod{12}$.
$48k$: $48$ sayısı da 12'nin tam katıdır ($48 = 4 \times 12$). Dolayısıyla $48k$ ifadesi de 12'nin tam katıdır. Bu terimin 12'ye bölümünden kalan $0$'dır. Yani $48k \equiv 0 \pmod{12}$.
$16$: $16$ sayısının 12'ye bölümünden kalanı bulalım. $16 = 1 \times 12 + 4$. Dolayısıyla $16$ sayısının 12'ye bölümünden kalan $4$'tür. Yani $16 \equiv 4 \pmod{12}$.
Şimdi bu kalanları toplayarak $N^2$ ifadesinin 12'ye bölümünden kalanı bulabiliriz:
$N^2 \equiv 0 + 0 + 4 \pmod{12}$
$N^2 \equiv 4 \pmod{12}$
Bu durumda, sayının karesinin 12'ye bölümünden kalan $4$'tür.
Cevap B seçeneğidir.
