Adım 1: Verilen Bilgileri Matematiksel Olarak İfade Edelim
- Bir $x$ doğal sayısı 3'e bölündüğünde 1 kalanını veriyorsa, bu durumu $x \equiv 1 \pmod{3}$ şeklinde veya $x = 3k + 1$ olarak yazabiliriz (burada $k$ bir doğal sayıdır).
- Aynı $x$ sayısı 4'e bölündüğünde 1 kalanını veriyorsa, bu durumu $x \equiv 1 \pmod{4}$ şeklinde veya $x = 4m + 1$ olarak yazabiliriz (burada $m$ bir doğal sayıdır).
Adım 2: Her İki Şartı da Sağlayan $x$ Değerlerinin Ortak Özelliğini Bulalım
- Her iki durumda da $x$ sayısının 1 kalanını verdiğini görüyoruz. Bu durumda, $x-1$ sayısı hem 3'e hem de 4'e tam bölünmelidir.
- Yani, $x-1$ sayısı hem 3'ün hem de 4'ün ortak katı olmalıdır.
- 3 ve 4 sayılarının en küçük ortak katı (EKOK) $3 \times 4 = 12$'dir.
- Dolayısıyla, $x-1$ sayısı 12'nin bir katı olmalıdır. Bunu $x-1 = 12n$ şeklinde yazabiliriz (burada $n$ bir doğal sayıdır).
Adım 3: $x$ Sayısının Genel Formunu Bulalım
- $x-1 = 12n$ denkleminden $x$'i yalnız bırakalım:
- $x = 12n + 1$
- Bu genel form, her iki şartı da sağlayan tüm $x$ doğal sayılarını temsil eder. Örneğin, $n=0$ için $x=1$, $n=1$ için $x=13$, $n=2$ için $x=25$ gibi.
Adım 4: 100'den Küçük En Büyük $x$ Değerini Bulalım
- $x = 12n + 1$ formundaki $x$ değerlerinin 100'den küçük olmasını istiyoruz:
- $12n + 1 < 100$
- Eşitsizliğin her iki tarafından 1 çıkaralım: $12n < 100 - 1$
- $12n < 99$
- Her iki tarafı 12'ye bölelim: $n < \frac{99}{12}$
- $n < 8.25$
- $n$ bir doğal sayı olduğu için, bu eşitsizliği sağlayan en büyük $n$ değeri $8$'dir.
- Şimdi $n=8$ değerini $x = 12n + 1$ denkleminde yerine koyarak $x$'in en büyük değerini bulalım:
- $x = 12 \times 8 + 1$
- $x = 96 + 1$
- $x = 97$
Bulduğumuz $x=97$ değerini kontrol edelim:
- $97 \div 3 = 32$ ve kalan $1$. (Şartı sağlıyor)
- $97 \div 4 = 24$ ve kalan $1$. (Şartı sağlıyor)
Bu durumda, 100'den küçük ve her iki şartı da sağlayan en büyük $x$ değeri 97'dir.
Cevap D seçeneğidir.
