Hangi ifadeler polinom değildir Test 2

\(P(x) = 2x^{\frac{1}{2}} - 3x^2 + 4\) ifadesi için aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

A) Bir polinomdur çünkü tüm katsayılar gerçek sayıdır
B) Bir polinomdur çünkü derecesi 2'dir
C) Bir polinom değildir çünkü üsler doğal sayı değildir
D) Bir polinom değildir çünkü sabit terim yoktur

Bu soruda, verilen bir ifadenin polinom olup olmadığını ve nedenini anlamamız gerekiyor.

• Polinom Nedir? Bir ifadenin polinom olabilmesi için iki temel şart vardır: değişkenlerin (burada $x$) kuvvetleri (üsleri) doğal sayı olmalıdır ($N = \{0, 1, 2, 3, ...\}$), ve değişkenlerin katsayıları gerçek sayılar olmalıdır. Eğer bu şartlardan biri bile sağlanmazsa, ifade bir polinom değildir.
• Verilen İfadeyi İnceleyelim: İfademiz $P(x) = 2x^{\frac{1}{2}} - 3x^2 + 4$.

  Bu ifadeyi terim terim incelediğimizde:

  $2x^{\frac{1}{2}}$ terimi: Katsayısı $2$ (gerçek sayı), $x$'in üssü $\frac{1}{2}$'dir. $\frac{1}{2}$ bir doğal sayı değildir (kesirli bir sayıdır).

  $-3x^2$ terimi: Katsayısı $-3$ (gerçek sayı), $x$'in üssü $2$'dir. $2$ bir doğal sayıdır.

  $4$ terimi (sabit terim): Katsayısı $4$ (gerçek sayı), $x$'in üssü $0$'dır ($4x^0$ olarak düşünebiliriz). $0$ bir doğal sayıdır.

• Sonuç Çıkarım: Polinom olma şartlarından biri, tüm değişkenlerin üslerinin doğal sayı olmasıydı. Ancak $2x^{\frac{1}{2}}$ teriminde $x$'in üssü $\frac{1}{2}$ olduğu için bu şart sağlanmamaktadır. Bir terim bile bu şartı sağlamazsa, ifade bir polinom olamaz. Bu nedenle, $P(x)$ ifadesi bir polinom değildir.
• Seçenekleri Değerlendirelim:

  A) "Bir polinomdur çünkü tüm katsayılar gerçek sayıdır" - Yanlış. Katsayılar gerçek sayı olsa da, üs şartını sağlamadığı için polinom değildir.

  B) "Bir polinomdur çünkü derecesi 2'dir" - Yanlış. İfade bir polinom olmadığı için derecesinden bahsedemeyiz.

  C) "Bir polinom değildir çünkü üsler doğal sayı değildir" - Doğru. $x^{\frac{1}{2}}$ terimindeki $\frac{1}{2}$ üssü doğal sayı değildir.

  D) "Bir polinom değildir çünkü sabit terim yoktur" - Yanlış. İfadenin sabit terimi $4$'tür.

Cevap C seçeneğidir.