Bir fabrikada üretilen ürünler 8'erli ve 12'şerli kolilere hiç artmayacak şekilde paketlenebilmektedir. Bu fabrikada üretilen ürün sayısı 100'den fazla olduğu bilindiğine göre, en az kaç ürün üretilmiştir?
A) 104Merhaba sevgili öğrenciler,
Bu soruda, bir fabrikadaki ürünlerin belirli sayılarda kolilere hiç artmayacak şekilde paketlenebildiği ve toplam ürün sayısının 100'den fazla olduğu bilgisi verilmiş. Bizden istenen ise üretilen en az ürün sayısı.
Ürünler hem 8'erli hem de 12'şerli kolilere hiç artmayacak şekilde paketlenebiliyorsa, bu, toplam ürün sayısının hem 8'in hem de 12'nin tam katı olması gerektiği anlamına gelir. Yani, ürün sayısı 8 ve 12'nin ortak bir katı olmalıdır. Ayrıca, ürün sayısının 100'den fazla olduğu belirtilmiştir. Bizden istenen, bu koşulları sağlayan en küçük ürün sayısıdır.
Ürün sayısı hem 8'in hem de 12'nin bir katı olacağı için, öncelikle bu iki sayının en küçük ortak katını (EKOK) bulmalıyız. EKOK, her iki sayının da ortak katları arasında en küçük olanıdır.
Asal Çarpanlara Ayırma Yöntemi:
8 sayısını asal çarpanlarına ayıralım: $8 = 2 \times 2 \times 2 = 2^3$
12 sayısını asal çarpanlarına ayıralım: $12 = 2 \times 2 \times 3 = 2^2 \times 3^1$
EKOK'u bulmak için, her iki sayının asal çarpanlarından üssü en büyük olanları seçip çarparız: $EKOK(8, 12) = 2^3 \times 3^1 = 8 \times 3 = 24$.
Katlarını Yazma Yöntemi:
8'in katları: 8, 16, 24, 32, 40, 48, ...
12'nin katları: 12, 24, 36, 48, ...
Her iki yöntemde de görüldüğü gibi, 8 ve 12'nin en küçük ortak katı 24'tür.
Ürün sayısı 24'ün bir katı olmalı ($24k$ şeklinde) ve aynı zamanda 100'den fazla olmalıdır. Şimdi 24'ün katlarını sırayla yazarak 100'ü geçen ilk sayıyı bulalım:
$24 \times 1 = 24$
$24 \times 2 = 48$
$24 \times 3 = 72$
$24 \times 4 = 96$ (Bu sayı 100'den küçüktür, bu yüzden aradığımız cevap bu değil.)
$24 \times 5 = 120$ (Bu sayı 100'den büyüktür ve 24'ün 100'ü geçen ilk katıdır.)
Bu durumda, üretilen en az ürün sayısı 120 olmalıdır.
Bulduğumuz 120 ürün sayısını kontrol edelim:
120 ürün 8'erli kolilere paketlenebilir mi? $120 \div 8 = 15$ koli. Evet, hiç ürün artmaz.
120 ürün 12'şerli kolilere paketlenebilir mi? $120 \div 12 = 10$ koli. Evet, hiç ürün artmaz.
120 sayısı 100'den büyük mü? Evet, büyüktür.
Tüm koşullar sağlanmıştır ve 100'den büyük olan 24'ün en küçük katı 120'dir.
Cevap C seçeneğidir.
