Bir matematik öğretmeni tahtaya P(x) = ax² + bx + c polinomunu yazıyor. Öğrencilere P(1) = 7, P(2) = 16 ve P(3) = 29 bilgilerini veriyor. Buna göre, P(4) değeri kaçtır?
A) 42Bu tür polinom sorularında, verilen değerler arasındaki ilişkiyi inceleyerek sonuca ulaşabiliriz. Özellikle $x$ değerleri ardışık sayılar olduğunda, "farklar yöntemi" dediğimiz bir teknik bize çok yardımcı olur.
Öncelikle, bize verilen $P(x)$ değerlerini ve karşılık gelen $x$ değerlerini bir tablo halinde düşünelim:
$x=1 \implies P(1) = 7$
$x=2 \implies P(2) = 16$
$x=3 \implies P(3) = 29$
Bizden $P(4)$ değerini bulmamız isteniyor.
Ardışık $P(x)$ değerleri arasındaki farkları bulalım. Bunlara "birinci farklar" diyoruz:
• $P(2) - P(1) = 16 - 7 = 9$
• $P(3) - P(2) = 29 - 16 = 13$
Bu farklar, $x$ değerleri 1'er arttığında $P(x)$'in ne kadar değiştiğini gösterir.
Şimdi de birinci farklar arasındaki farkı bulalım. Bunlara "ikinci farklar" diyoruz:
• $13 - 9 = 4$
Önemli Bilgi: Bir polinom $P(x) = ax^2 + bx + c$ şeklinde ikinci dereceden bir polinom ise, ardışık $x$ değerleri için hesaplanan ikinci farklar sabit bir sayıya eşit olur. Bu sabit sayı $2a$ değerine eşittir.
Bizim durumumuzda ikinci fark $4$ çıktı. Bu, $P(x)$'in ikinci dereceden bir polinom olduğunu ve $2a=4$ yani $a=2$ olduğunu doğrular.
İkinci farklar sabit olduğu için, $x=3$ ile $x=4$ arasındaki birinci fark da bir önceki birinci farktan $4$ fazla olmalıdır.
• $x=1$ ve $x=2$ arasındaki birinci fark: $9$
• $x=2$ ve $x=3$ arasındaki birinci fark: $13$
• $x=3$ ve $x=4$ arasındaki birinci fark (bilinmeyen): $13 + 4 = 17$ olmalıdır.
Yani, $P(4) - P(3) = 17$ olmalıdır.
Yukarıdaki adımdan biliyoruz ki $P(4) - P(3) = 17$.
Bize $P(3) = 29$ olarak verilmişti.
$P(4) - 29 = 17$
$P(4) = 17 + 29$
$P(4) = 46$
Bu yöntemle, $P(x)$ polinomunun katsayılarını tek tek bulmaya gerek kalmadan sonuca ulaşabiliriz. Ancak isterseniz, $a=2$ olduğunu bulduktan sonra $b$ ve $c$ değerlerini de bulup $P(x) = 2x^2 + 3x + 2$ polinomunu elde edip $P(4)$'ü hesaplayarak da aynı sonuca ulaşabilirsiniz.
Cevap C seçeneğidir.
