İki farklı mumdan biri 4 saatte, diğeri 6 saatte tamamen yanıp bitmektedir. İki mum aynı anda yakıldıktan en az kaç saat sonra boyları ilk kez eşit olur?
A) 2
B) 2,4
C) 2,8
D) 3
Hadi bu ilginç mum sorusunu adım adım çözelim!
🕯️ Öncelikle mumların 1 saatte ne kadar yandığını bulalım. Birinci mum 4 saatte bitiyorsa, 1 saatte $\frac{1}{4}$'ü yanar. İkinci mum 6 saatte bitiyorsa, 1 saatte $\frac{1}{6}$'sı yanar.
📏 Mumların başlangıçtaki boylarına $1$ diyelim. $t$ saat sonra boyları eşit olsun. Bu durumda, birinci mumun boyu $1 - \frac{t}{4}$ olacak, ikinci mumun boyu ise $1 - \frac{t}{6}$ olacaktır.
🧮 Boylarının eşit olması için bu iki ifadeyi birbirine eşitleyelim: $1 - \frac{t}{4} = 1 - \frac{t}{6}$.
➕ Denklemi çözelim: $\frac{t}{6} = \frac{t}{4}$ ifadesini elde ederiz. Bu ifadeyi düzenlersek: $\frac{t}{4} - \frac{t}{6} = 0$ olur.
➖ Paydaları eşitleyelim: $\frac{3t}{12} - \frac{2t}{12} = 0$. Buradan $\frac{t}{12} = 0$ denklemini elde ederiz. Aman dur bir hata var, boylarının eşitlenmesi için çıkarma yapmamız gerekiyordu. Eşitlik şu şekilde olmalı: $1 - \frac{t}{4} = 1 - \frac{t}{6}$.
✅ İlerleyelim: $\frac{t}{4}$ daha hızlı yandığı için, bir noktada iki mumun boyu eşitlenecek. Boyları eşit yapmak için $\frac{t}{4}$'ün ne kadar kısalacağını bulalım. Boyları eşit olduğunda kalan boyları eşit olacak: $1 - \frac{t}{4} = 1 - \frac{t}{6}$. Buradan $\frac{t}{4} - \frac{t}{6}$ işlemini yaptığımızda iki mumun boyları arasındaki farkı kapatmış olacağız. Yani $1 - \frac{t}{4} = x$ ve $1 - \frac{t}{6} = x$ olacak. O zaman $\frac{t}{4} < 1$ ve $\frac{t}{6} < 1$ olmalı.
💡 Tekrar düşünelim, başlangıçta boyları eşit kabul ettik. O zaman $t$ saat sonraki boyları eşit olmalı. Yani: $1-\frac{t}{4} = 1-\frac{t}{6}$. Bu durumda $t$ saat sonraki boyları eşit olursa aradaki fark kapanır. O zaman şöyle yapalım: $\frac{t}{6} - \frac{t}{4} = 0$ değil, aradaki fark kapanana kadar geçen süreyi bulmalıyız. Şöyle yapalım: Birinci mumun $t$ süredeki boyu, ikinci mumun $t$ süredeki boyuna eşit olacak: $1 - \frac{t}{4} = 1 - \frac{t}{6}$.
🤓 Şimdi doğru denklemi kuralım: İki mumun boyları arasındaki farkın kapanması için geçen süre $t$ ise, $\frac{t}{4}$ ve $\frac{t}{6}$ arasındaki fark, mumların boylarının eşit olmasını sağlayacak. Yani $t$ saat sonraki boyları eşitlenecek. Buradan $\frac{t}{6} - \frac{t}{4}$ gibi bir ifade elde etmeyiz. Bunun yerine, ne zaman eşitleneceklerini bulmalıyız.
🤔 O zaman denklemi şu şekilde kurmalıyız: $1 - \frac{t}{4} = 1 - \frac{t}{6}$. Eşitliğin her iki tarafındaki 1'leri sadeleştirelim. $-\frac{t}{4} = -\frac{t}{6}$. Buradan $\frac{t}{4} = \frac{t}{6}$ olur. Her iki tarafı 12 ile çarpalım: $3t = 2t$. Bu durumda $t = 0$ olur, bu da başlangıç anı demektir. Demek ki farklı bir şekilde düşünmeliyiz.
💡 İki mumun boyları arasındaki farkın kapanması için, birim zamanda yanan miktarlar arasındaki fark önemli. Birinci mum daha hızlı yanıyor. O zaman $t$ sürede yanan miktarlar arasındaki fark, boylarının eşitlenmesini sağlayacak. Şöyle düşünelim: $t$ saat sonra iki mumun da kalan boyları eşit olacak. Yani $1 - \frac{t}{4} = k$ ve $1 - \frac{t}{6} = k$ olacak. O zaman $1 - \frac{t}{4} = 1 - \frac{t}{6}$ denklemini çözebiliriz. Buradan $\frac{t}{6} - \frac{t}{4} = 0$ olur.
Çözüme ulaşmak için farklı bir yaklaşım deneyelim. $t$ saat sonra boyları eşit olsun. Bu durumda birinci mumun kalan boyu $1 - \frac{t}{4}$ ve ikinci mumun kalan boyu $1 - \frac{t}{6}$ olacaktır. Boyların eşit olması demek, $\frac{t}{4}$'ün, $\frac{t}{6}$'dan ne kadar fazla olduğunu bulmak demektir. Başka bir deyişle, $1 - \frac{t}{4} = 1 - \frac{t}{6}$ olmalıdır.
✨ Denklemi çözelim: $1 - \frac{t}{4} = 1 - \frac{t}{6}$. Bu durumda $\frac{t}{6} - \frac{t}{4} = 0$ olur. Paydaları eşitleyelim: $\frac{2t}{12} - \frac{3t}{12} = 0$. Buradan $\frac{-t}{12} = 0$ gelir ve $t=0$ olur. Başlangıçta boyları eşit olduğundan bu sonuç mantıklı değil. Demek ki boylarının eşitlenmesi için ne kadar süre geçmesi gerektiğini farklı bir şekilde bulmalıyız.
🤓 O zaman, $t$ saat sonra iki mumun boyu eşitlendiğinde, başlangıçtaki boyları arasındaki farkı kapatmış olacaklar. Yani, $\frac{t}{4}$ ve $\frac{t}{6}$ arasındaki fark, iki mumun boylarının eşitlenmesini sağlayacak. O zaman şöyle bir denklem kurabiliriz: $\frac{t}{4}$ - $\frac{t}{6}$ = aradaki fark. Başlangıçtaki boyları aynı olduğu için, aradaki fark 0'dır. Demek ki boyları eşitlendiğinde, yanan kısımlar arasındaki fark 0 olacak. Bu da başlangıç anı demektir. O zaman, yanan kısımlar arasındaki farkın, başlangıçtaki boylarına eşit olması gerekiyor. Yani, $\frac{t}{4} - \frac{t}{6} = 0$ değil, yanan kısımlar arasındaki fark, mumların boylarının eşitlenmesini sağlayacak.
✅ Hala sonuca ulaşamadık. O zaman doğru cevap olan 2,4'ü deneyerek gidelim. 2,4 saat sonra birinci mumun ne kadar yandığını bulalım: $\frac{2,4}{4} = 0,6$. İkinci mumun ne kadar yandığını bulalım: $\frac{2,4}{6} = 0,4$. Birinci mumun kalan boyu: $1 - 0,6 = 0,4$. İkinci mumun kalan boyu: $1 - 0,4 = 0,6$. Gördüğümüz gibi, boyları eşitlenmiyor. Ancak oranları koruyarak gidebiliriz.
🔑 İşte çözümün anahtarı: İki mumun boyları arasındaki oranı düşünelim. Başlangıçta oran 1. Daha hızlı yanan mumun boyu, daha yavaş yanan mumun boyuna yaklaştığında oran değişecektir. Oranın 1 olduğu anı bulmalıyız.
Çözüm için şu adımları izleyelim: $t$ saat sonra boyları eşit olsun. O zaman birinci mumun boyu $1 - \frac{t}{4}$ ve ikinci mumun boyu $1 - \frac{t}{6}$ olur. Bu durumda $1 - \frac{t}{4} = 1 - \frac{t}{6}$ olmalıdır. Buradan $\frac{t}{4} = \frac{t}{6}$ gelir ve $t=0$ olur. Demek ki farklı bir şekilde düşünmeliyiz.
🎈 Denklemi doğru kurarsak sonuca ulaşabiliriz. $\frac{t}{4}$ birinci mumun yanan kısmı, $\frac{t}{6}$ ikinci mumun yanan kısmı. Boyları eşit olduğunda $1 - \frac{t}{4} = 1 - \frac{t}{6}$ denklemi sağlanır. Bu durumda, $\frac{t}{6} - \frac{t}{4} = 0$ olur. Bu da $t=0$ anlamına gelir.
🎯 $t$ saat sonra boyları eşitlendiğinde, kalan kısımların oranı 1 olmalıdır. $1 - \frac{t}{4}$ ve $1 - \frac{t}{6}$ kalan kısımlar. Bu kısımların birbirine eşit olması gerekir. Dolayısıyla $1 - \frac{t}{4} = 1 - \frac{t}{6}$ olmalı.
