\( 3^{a} = 5 \) ve \( 3^{b} = 2 \) olduğuna göre, \( 27^{a+b} \) ifadesinin değeri kaçtır?
A) 100Merhaba sevgili öğrenciler!
Bu soruda üslü ifadelerin özelliklerini kullanarak verilen bilgileri değerlendireceğiz. Adım adım ilerleyelim:
Bize sorulan ifade $27^{a+b}$'dir. Bu ifadeyi, verilen $3^a$ ve $3^b$ ifadeleriyle ilişkilendirmemiz gerekiyor.
Verilen ifadelerde taban $3$ iken, sorulan ifadede taban $27$'dir. $27$ sayısının $3$'ün bir kuvveti olduğunu biliyoruz: $27 = 3^3$.
Şimdi $27^{a+b}$ ifadesini $3$ tabanında yazalım:
$27^{a+b} = (3^3)^{a+b}$
Üslü ifadelerde $(x^m)^n = x^{m \cdot n}$ kuralını uygulayarak ifadeyi basitleştirelim:
$(3^3)^{a+b} = 3^{3 \cdot (a+b)} = 3^{3a+3b}$
Şimdi de $x^{m+n} = x^m \cdot x^n$ kuralını kullanarak üsleri ayıralım:
$3^{3a+3b} = 3^{3a} \cdot 3^{3b}$
Her bir terimi $(x^m)^n = x^{m \cdot n}$ kuralının tersini kullanarak yeniden düzenleyelim:
$3^{3a} \cdot 3^{3b} = (3^a)^3 \cdot (3^b)^3$
Soruda bize $3^a = 5$ ve $3^b = 2$ olarak verilmişti. Bu değerleri bulduğumuz son ifadeye yerleştirelim:
$(3^a)^3 \cdot (3^b)^3 = (5)^3 \cdot (2)^3$
Şimdi küpleri hesaplayalım ve çarpma işlemini yapalım:
$5^3 = 5 \cdot 5 \cdot 5 = 125$
$2^3 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 8$
Sonuç: $125 \cdot 8 = 1000$
Gördüğünüz gibi, üslü ifadelerin temel kurallarını adım adım uygulayarak sonuca ulaştık.
Cevap C seçeneğidir.
