Bir araba 3 saatte 180 km yol almıştır. Arabanın hız-zaman grafiği [0, 3] kapalı aralığında sürekli olduğuna göre, arabanın bu aralıkta en az bir anda sahip olduğu hız kaç km/saat olmalıdır?
A) 45Sevgili öğrenciler, bu problemde bir aracın belirli bir sürede aldığı yol ve hızının sürekliliği hakkında bilgi verilmiş. Bizden istenen ise, bu aralıkta aracın en az bir anda sahip olduğu hızın kaç olması gerektiğidir. Adım adım ilerleyelim:
Araba $3$ saatte $180$ km yol almıştır. Bu, aracın toplam katettiği mesafe ve bu mesafeyi katetmek için harcadığı süredir.
Arabanın hız-zaman grafiği $[0, 3]$ kapalı aralığında süreklidir. Bu bilgi çok önemlidir! Süreklilik, aracın hızının zaman içinde ani sıçramalar yapmadığı, aksine yumuşak bir şekilde değiştiği anlamına gelir. Yani, hız değeri bir anda $30 \text{ km/saat}$'ten $80 \text{ km/saat}$'e atlamaz, bu değerler arasındaki tüm hızları mutlaka alır.
Bir aracın ortalama hızı, toplam aldığı yolun, bu yolu almak için harcadığı toplam süreye bölünmesiyle bulunur. Formülümüz şöyledir: $ \text{Ortalama Hız} = \frac{\text{Toplam Yol}}{\text{Toplam Süre}} $
Şimdi verilen değerleri yerine koyalım:
$ \text{Ortalama Hız} = \frac{180 \text{ km}}{3 \text{ saat}} = 60 \text{ km/saat} $
Yani, arabanın bu $3$ saatlik yolculuk boyunca ortalama hızı $60 \text{ km/saat}$'tir.
Problemde hız-zaman grafiğinin $[0, 3]$ aralığında sürekli olduğu belirtilmiştir. Matematikteki Ortalama Değer Teoremi (Mean Value Theorem) veya daha basitçe Ara Değer Teoremi (Intermediate Value Theorem)'nin bir sonucu olarak, eğer bir fonksiyon (bizim durumumuzda hız fonksiyonu) belirli bir aralıkta sürekli ise, o fonksiyon bu aralıktaki ortalama değerini en az bir kez almak zorundadır.
Başka bir deyişle, eğer $3$ saat boyunca ortalama hızınız $60 \text{ km/saat}$ ise ve hızınız sürekli bir şekilde değişiyorsa (yani hız göstergeniz aniden zıplamıyorsa), bu $3$ saatlik süre içinde mutlaka bir an gelmiş ve hızınız tam olarak $60 \text{ km/saat}$ olmuştur. Hızınız $60 \text{ km/saat}$'in altına düşmüş veya üstüne çıkmış olsa bile, ortalamayı $60 \text{ km/saat}$ yapabilmek için $60 \text{ km/saat}$ değerini en az bir kez geçmek veya bu değere ulaşmak zorundadır.
Ortalama hızımız $60 \text{ km/saat}$ olduğuna ve hız fonksiyonu sürekli olduğuna göre, araba bu $3$ saatlik yolculukta en az bir anda $60 \text{ km/saat}$ hıza sahip olmuştur.
Cevap D seçeneğidir.
