Bir yüzücü 50 metrelik havuzu 30 saniyede tamamlıyor. Yüzücünün hızı [0, 30] kapalı aralığında sürekli olduğuna göre, yüzücü en az bir anda hangi hız değerine kesinlikle ulaşmıştır?
A) 1 m/sn
B) 1.5 m/sn
C) 1.67 m/sn
D) 2 m/sn
Merhaba sevgili öğrenciler,
Bu soruda, bir yüzücünün belirli bir mesafeyi belirli bir sürede tamamladığı ve hızının sürekli olduğu bilgisi verilmiş. Bizden istenen, yüzücünün kesinlikle ulaşmış olduğu bir hız değerini bulmaktır. Bu tür problemler genellikle ortalama hız ve süreklilik kavramları üzerinden çözülür.
- Adım 1: Verilen Bilgileri Anlayalım
- Yüzücünün kat ettiği toplam mesafe (yol) $50$ metredir.
- Bu mesafeyi tamamlama süresi $30$ saniyedir.
- En önemli bilgi ise, yüzücünün hızının $[0, 30]$ kapalı aralığında sürekli olduğudur. Süreklilik, hızın zaman içinde ani sıçramalar yapmadığı, yumuşak bir şekilde değiştiği anlamına gelir.
- Adım 2: Ortalama Hızı Hesaplayalım
- Bir cismin ortalama hızı, kat ettiği toplam yolun, bu yolu kat etmek için geçen toplam zamana bölünmesiyle bulunur.
- Formül: Ortalama Hız = $\frac{\text{Toplam Yol}}{\text{Toplam Zaman}}$
- Verilen değerleri yerine koyarsak: Ortalama Hız = $\frac{50 \text{ m}}{30 \text{ s}}$
- Bu işlemi yaptığımızda: Ortalama Hız = $\frac{5}{3} \text{ m/sn}$ buluruz.
- Adım 3: Ortalama Hızı Ondalık Değere Çevirelim
- $\frac{5}{3}$ kesrini ondalık sayıya çevirdiğimizde yaklaşık olarak $1.666...$ elde ederiz.
- Seçeneklerdeki değerlerle karşılaştırmak için bunu $1.67 \text{ m/sn}$ olarak yuvarlayabiliriz.
- Adım 4: Süreklilik Kavramının Önemi
- Soruda hızın sürekli olduğu belirtildiği için, Ortalama Değer Teoremi (veya daha genel olarak Ara Değer Teoremi) devreye girer. Bu teorem der ki: Eğer bir fonksiyon belirli bir aralıkta sürekli ise, bu aralıkta aldığı en küçük ve en büyük değerler arasındaki her değeri en az bir kez almıştır.
- Yüzücünün hızı zaman içinde sürekli değiştiği için, yüzücünün anlık hızı, başlangıç hızı ile bitiş hızı arasındaki tüm değerleri ve özellikle de yolculuk boyunca sahip olduğu ortalama hızı en az bir kez almıştır.
- Yani, yüzücü $0$ saniyeden $30$ saniyeye kadar yüzdüğü süre boyunca, ortalama hızı olan $1.67 \text{ m/sn}$ değerine kesinlikle en az bir anda ulaşmıştır.
- Adım 5: Doğru Seçeneği Belirleyelim
- Hesapladığımız ortalama hız $1.67 \text{ m/sn}$'dir. Seçeneklere baktığımızda, C seçeneği bu değere karşılık gelmektedir.
Cevap C seçeneğidir.
