Bir araba 2 saatte 120 km yol alıyor. Arabanın hızı [0, 2] kapalı aralığında sürekli olduğuna göre ve yol boyunca en az bir noktada 70 km/saat hızla gittiği bilindiğine göre, aşağıdakilerden hangisi kesinlikle doğrudur?
A) Ortalama hız 60 km/saat'tir
B) En hızlı anında 80 km/saat hızla gitmiştir
C) En az iki farklı anda 60 km/saat hızla gitmiştir
D) En yavaş anında 40 km/saat hızla gitmiştir
Merhaba sevgili öğrenciler! Bu soruyu adım adım inceleyerek, temel matematiksel kavramları ve mantığı kullanarak doğru cevaba ulaşalım. Unutmayın, dikkatli okuma ve temel formülleri doğru uygulama, bu tür problemleri çözmenin anahtarıdır.
-
1. Adım: Soruyu Anlayalım ve Verilenleri Belirleyelim
Soruda bize bir arabanın 2 saatte 120 km yol aldığı bilgisi verilmiş. Ayrıca, arabanın hızının $[0, 2]$ kapalı aralığında sürekli olduğu ve yol boyunca en az bir noktada 70 km/saat hızla gittiği belirtiliyor. Bizden kesinlikle doğru olan ifadeyi bulmamız isteniyor.
-
2. Adım: Ortalama Hız Kavramını Hatırlayalım
Ortalama hız, bir cismin belirli bir zaman aralığında katettiği toplam yolun, bu yolu katetmek için harcadığı toplam zamana bölünmesiyle bulunur. Formülü şöyledir:
Ortalama Hız = $\frac{\text{Toplam Yol}}{\text{Toplam Zaman}}$
-
3. Adım: Ortalama Hızı Hesaplayalım
Verilen bilgilere göre:
- Toplam Yol = 120 km
- Toplam Zaman = 2 saat
Bu değerleri formülde yerine koyarsak:
Ortalama Hız = $\frac{120 \text{ km}}{2 \text{ saat}} = 60 \text{ km/saat}$
Bu hesaplama, doğrudan verilen bilgilerle yapılabilen ve kesinlikle doğru olan bir sonuçtur. Arabanın hızının sürekli olması veya 70 km/saat hızla gitmesi gibi ek bilgiler, ortalama hızı değiştirmez.
-
4. Adım: Seçenekleri Değerlendirelim
- A) Ortalama hız 60 km/saat'tir: Yukarıdaki hesaplamalarımızda da gördüğümüz gibi, bu ifade kesinlikle doğrudur.
- B) En hızlı anında 80 km/saat hızla gitmiştir: Arabanın ortalama hızı 60 km/saat olsa da, belirli anlarda çok daha hızlı veya çok daha yavaş gitmiş olabilir. Örneğin, bir süre 100 km/saat hızla gidip, başka bir süre 40 km/saat hızla gitmiş olabilir. En yüksek hızının kesinlikle 80 km/saat olduğunu söyleyemeyiz. Bu bilgi kesin değildir.
- C) En az iki farklı anda 60 km/saat hızla gitmiştir: Hızın sürekli olması nedeniyle, Ortalama Değer Teoremi (Mean Value Theorem) gereği araba, ortalama hızı olan 60 km/saat hıza en az bir kere ulaşmış olmalıdır. Ancak, bu hızla en az iki farklı anda gittiği kesin değildir. Örneğin, araba tüm yolculuk boyunca sabit 60 km/saat hızla gitmiş olabilir. Bu durumda, her an 60 km/saat hızla gitse de, "iki farklı an" koşulu kesin olarak sağlanmaz. Ya da hız fonksiyonu sadece bir noktada 60'ı kesebilir.
- D) En yavaş anında 40 km/saat hızla gitmiştir: B seçeneğinde olduğu gibi, en yavaş hız hakkında kesin bir bilgiye sahip değiliz. Araba bir an durmuş (0 km/saat) veya hiç 40 km/saat'in altına düşmemiş olabilir. Bu bilgi de kesin değildir.
Sonuç olarak, verilen bilgilerle kesin olarak hesaplayabildiğimiz tek ifade, arabanın ortalama hızıdır.
Cevap A seçeneğidir.
