Merhaba sevgili öğrenciler!
Bu problemde, bir tarlanın etrafına eşit aralıklarla fidan dikeceğiz ve toplamda en az kaç fidana ihtiyacımız olduğunu bulacağız. "En az fidan" demek, fidanlar arasındaki mesafenin "en büyük" olması demektir. Bu tür problemlerde, verilen uzunlukların En Büyük Ortak Bölenini (EBOB) bulmamız gerekir.
- Adım 1: Problemi Anlayalım ve En Büyük Ortak Böleni (EBOB) Bulalım
- Tarlanın iki farklı bölümünün uzunlukları $180 \text{ m}$ ve $240 \text{ m}$ olarak verilmiş.
- Fidanlar eşit aralıklarla dikileceği için, bu aralık hem $180 \text{ m}$'nin hem de $240 \text{ m}$'nin bir böleni olmalıdır.
- "En az fidan" dikmek için, fidanlar arasındaki mesafeyi mümkün olan en büyük tutmalıyız. Bu da $180$ ve $240$'ın EBOB'unu bulmak anlamına gelir.
- $180$ ve $240$'ın EBOB'unu bulalım:
- $180 = 2 \cdot 90 = 2^2 \cdot 45 = 2^2 \cdot 3^2 \cdot 5$
- $240 = 2 \cdot 120 = 2^2 \cdot 60 = 2^3 \cdot 30 = 2^4 \cdot 15 = 2^4 \cdot 3 \cdot 5$
- EBOB(180, 240) = Ortak asal çarpanların en küçük üslerini alarak çarpalım: $2^2 \cdot 3^1 \cdot 5^1 = 4 \cdot 3 \cdot 5 = 60$.
- Yani, fidanlar arasındaki en büyük eşit aralık $60 \text{ m}$ olmalıdır.
- Adım 2: Tarlanın Şeklini ve Çevresini Yorumlayalım
- "Bir tarlanın çevresi $180 \text{ m}$ ve $240 \text{ m}$ olan iki farklı bölümüne" ifadesini, tarlanın dikdörtgen şeklinde olduğunu ve kenar uzunluklarının $180 \text{ m}$ ve $240 \text{ m}$ olduğunu varsayarak yorumlayabiliriz. Bu, bu tür problemlerde sıkça karşılaşılan bir yorumdur.
- Bu durumda, tarlanın çevresi (tüm kenarlarının toplamı) şu şekilde hesaplanır:
- Çevre = $2 \times (\text{uzun kenar} + \text{kısa kenar})$
- Çevre = $2 \times (240 \text{ m} + 180 \text{ m})$
- Çevre = $2 \times 420 \text{ m}$
- Çevre = $840 \text{ m}$
- Adım 3: Toplam Fidan Sayısını Hesaplayalım
- Fidanlar tarlanın çevresi boyunca dikilecektir. Kapalı bir şeklin (çevre) etrafına eşit aralıklarla fidan dikilirken, toplam fidan sayısı çevrenin fidan aralığına bölünmesiyle bulunur. Çünkü başlangıç noktasına dikilen fidan aynı zamanda son fidanın da yerini tutar.
- Toplam fidan sayısı = $\frac{\text{Çevre}}{\text{Fidan Aralığı}}$
- Toplam fidan sayısı = $\frac{840 \text{ m}}{60 \text{ m/fidan}}$
- Toplam fidan sayısı = $14$ fidan.
Bu durumda, tarlanın etrafına toplamda en az $14$ fidan dikilmesi gerekir.
Cevap C seçeneğidir.
