Aşağıdaki ifadelerden hangisi bir polinom fonksiyonu değildir?
A) $f(x) = 3x^2 - 2x + 1$
B) $g(x) = 5x^4 + \sqrt{2}x^3 - 7$
C) $h(x) = x^{-3} + 2x^2 - 5$
D) $k(x) = 4x^5 - x + 9$
Bir fonksiyonun polinom fonksiyonu olabilmesi için belirli şartları sağlaması gerekir. Temel olarak, bir polinom fonksiyonu $P(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \dots + a_1 x + a_0$ şeklinde ifade edilebilir.
- Burada $a_n, a_{n-1}, \dots, a_0$ katsayıları gerçek (reel) sayılar olmalıdır.
- En önemlisi, $x$'in kuvvetleri (yani $n, n-1, \dots, 1, 0$) **negatif olmayan tam sayılar** olmalıdır. Başka bir deyişle, $x$'in kuvvetleri $0, 1, 2, 3, \dots$ gibi sayılar olmalıdır. Kesirli kuvvetler (kökler) veya negatif kuvvetler içeren ifadeler polinom değildir.
Şimdi seçenekleri bu kurallara göre inceleyelim:
- A) $f(x) = 3x^2 - 2x + 1$
- Bu fonksiyondaki $x$'in kuvvetleri $2, 1$ ve sabit terimdeki $x^0$ (yani $0$) şeklindedir. Tüm bu kuvvetler negatif olmayan tam sayılardır. Katsayılar ($3, -2, 1$) da reel sayılardır. Bu nedenle, $f(x)$ bir polinom fonksiyondur.
- B) $g(x) = 5x^4 + \sqrt{2}x^3 - 7$
- Bu fonksiyondaki $x$'in kuvvetleri $4, 3$ ve $0$ şeklindedir. Tüm bu kuvvetler negatif olmayan tam sayılardır. Katsayılar ($5, \sqrt{2}, -7$) da reel sayılardır ($\sqrt{2}$ bir reel sayıdır, $x$'in kuvveti değildir). Bu nedenle, $g(x)$ bir polinom fonksiyondur.
- C) $h(x) = x^{-3} + 2x^2 - 5$
- Bu fonksiyonda ilk terim $x^{-3}$'tür. Buradaki $x$'in kuvveti $-3$'tür. $-3$ bir negatif tam sayıdır. Polinom fonksiyonlarının tanımına göre, $x$'in kuvvetleri negatif olamaz. Bu nedenle, $h(x)$ bir polinom fonksiyonu değildir.
- D) $k(x) = 4x^5 - x + 9$
- Bu fonksiyondaki $x$'in kuvvetleri $5, 1$ ve $0$ şeklindedir. Tüm bu kuvvetler negatif olmayan tam sayılardır. Katsayılar ($4, -1, 9$) da reel sayılardır. Bu nedenle, $k(x)$ bir polinom fonksiyondur.
Yukarıdaki incelemelere göre, $h(x)$ fonksiyonu $x^{-3}$ terimi nedeniyle polinom fonksiyonu değildir.
Cevap C seçeneğidir.
