Hangi seçenekteki ifade hem rasyonel fonksiyon hem de polinom fonksiyon özelliği taşır?
A) $\frac{x^2 + 1}{x - 1}$
B) $x^3 - 2x + 5$
C) $\sqrt{x} + 2x^2$
D) $x^{-2} + 3x - 7$
Bu soruda, hem rasyonel fonksiyon hem de polinom fonksiyon özelliklerini taşıyan ifadeyi bulmamız isteniyor. Öncelikle bu iki fonksiyon türünün tanımlarını hatırlayalım:
- Rasyonel Fonksiyon: İki polinom fonksiyonunun oranı şeklinde yazılabilen fonksiyonlara rasyonel fonksiyon denir. Yani, $f(x) = \frac{P(x)}{Q(x)}$ şeklinde ifade edilebilir, burada $P(x)$ ve $Q(x)$ birer polinomdur ve $Q(x)$ sıfır polinomu değildir.
- Polinom Fonksiyon: $a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \dots + a_1 x + a_0$ şeklinde yazılabilen fonksiyonlara polinom fonksiyon denir. Burada $a_n, a_{n-1}, \dots, a_0$ gerçek sayılar (katsayılar) ve $n$ bir doğal sayıdır (yani $n \ge 0$ ve $n$ tam sayıdır). Polinom fonksiyonlarında değişkenin ($x$'in) üsleri daima negatif olmayan tam sayılar olmalıdır.
Unutmamız gereken önemli bir nokta şudur: Her polinom fonksiyonu aynı zamanda bir rasyonel fonksiyondur. Çünkü bir $P(x)$ polinomunu $\frac{P(x)}{1}$ şeklinde yazabiliriz ve $1$ de bir sabit polinomdur.
Şimdi seçenekleri tek tek inceleyelim:
- A) $\frac{x^2 + 1}{x - 1}$: Bu ifade, $P(x) = x^2 + 1$ ve $Q(x) = x - 1$ gibi iki polinomun oranıdır. Dolayısıyla rasyonel bir fonksiyondur. Ancak, paydada $x$ değişkeni bulunduğu için bu ifade bir polinom fonksiyonu değildir. Polinom fonksiyonlarında değişken paydada bulunamaz.
- B) $x^3 - 2x + 5$: Bu ifadede $x$'in üsleri $3$, $1$ ve $0$ (sabit terim için $5x^0$) olup hepsi negatif olmayan tam sayılardır. Katsayılar ($1, -2, 5$) gerçek sayılardır. Bu nedenle bu ifade bir polinom fonksiyondur. Her polinom fonksiyonu aynı zamanda bir rasyonel fonksiyondur (örneğin $\frac{x^3 - 2x + 5}{1}$ şeklinde yazılabilir). Dolayısıyla bu ifade aynı zamanda rasyonel bir fonksiyondur. Bu seçenek hem rasyonel hem de polinom fonksiyon özelliğini taşır.
- C) $\sqrt{x} + 2x^2$: Bu ifadede $\sqrt{x}$ terimi, $x^{1/2}$ olarak yazılabilir. $x$'in üssü olan $1/2$ bir tam sayı değildir. Bu nedenle bu ifade bir polinom fonksiyonu değildir. Polinom olmadığı için, iki polinomun oranı şeklinde de yazılamaz (çünkü $\sqrt{x}$ bir polinom değildir). Dolayısıyla rasyonel bir fonksiyon da değildir.
- D) $x^{-2} + 3x - 7$: Bu ifadede $x^{-2}$ terimi bulunmaktadır. $x$'in üssü olan $-2$ negatif bir tam sayıdır. Polinom fonksiyonlarında üsler negatif olamaz. Bu nedenle bu ifade bir polinom fonksiyonu değildir. Ancak, bu ifade $\frac{1}{x^2} + 3x - 7 = \frac{1 + 3x^3 - 7x^2}{x^2}$ şeklinde yazılabilir. Bu, iki polinomun oranıdır. Dolayısıyla bu ifade rasyonel bir fonksiyondur. Bu seçenek rasyonel olmasına rağmen polinom değildir.
Yukarıdaki incelemeler sonucunda, hem rasyonel hem de polinom fonksiyon özelliği taşıyan tek seçeneğin B olduğu görülmektedir.
Cevap B seçeneğidir.
