Bu soruda, $f(x) = x^n$ şeklindeki bir fonksiyonun polinom olabilmesi için $n$ sayısının hangi kümeden gelmesi gerektiğini anlamamız gerekiyor. Haydi, adım adım bu konuyu öğrenelim:
-
1. Polinom Fonksiyon Nedir?
Bir polinom fonksiyonu, genel olarak $P(x) = a_k x^k + a_{k-1} x^{k-1} + \dots + a_1 x^1 + a_0 x^0$ şeklinde ifade edilen bir fonksiyondur. Burada $a_i$ katsayılar (genellikle gerçek sayılar) ve en önemlisi, $x$'in kuvvetleri (yani $k, k-1, \dots, 1, 0$) negatif olmayan tam sayılar olmak zorundadır. Başka bir deyişle, $x$'in üssü doğal sayı olmalıdır (matematikte doğal sayılar kümesi genellikle $\mathbb{N} = \{0, 1, 2, 3, \dots\}$ şeklinde tanımlanır).
-
2. $f(x) = x^n$ Fonksiyonunu İnceleyelim:
Bizim fonksiyonumuz $f(x) = x^n$ şeklindedir. Bu, aslında tek terimli bir polinomdur (monom). Bir polinom olabilmesi için, yukarıdaki tanıma göre $n$ üssünün negatif olmayan bir tam sayı olması gerekir.
-
3. Seçenekleri Değerlendirelim:
-
A) Tam sayılar ($\mathbb{Z}$): Tam sayılar kümesi $\dots, -2, -1, 0, 1, 2, \dots$ sayılarını içerir. Eğer $n$ negatif bir tam sayı olursa, örneğin $n = -2$ ise, $f(x) = x^{-2} = \frac{1}{x^2}$ olur. Bu ifade bir polinom değildir çünkü $x$ paydada yer almaktadır. Bu tür fonksiyonlara rasyonel fonksiyon denir. Dolayısıyla, $n$ sadece tam sayılar kümesinden olamaz.
-
B) Doğal sayılar ($\mathbb{N}$): Doğal sayılar kümesi genellikle $0, 1, 2, 3, \dots$ şeklinde tanımlanır (negatif olmayan tam sayılar). Örneğin, eğer $n=0$ ise, $f(x) = x^0 = 1$ (sabit bir polinomdur). Eğer $n=1$ ise, $f(x) = x^1 = x$ (doğrusal bir polinomdur). Eğer $n=2$ ise, $f(x) = x^2$ (kuadratik bir polinomdur). Görüldüğü gibi, $n$ doğal sayı olduğunda, $f(x) = x^n$ her zaman bir polinom olur. Bu tanım, polinomların üsleri için aradığımız "negatif olmayan tam sayılar" koşulunu tam olarak karşılar.
-
C) Rasyonel sayılar ($\mathbb{Q}$): Rasyonel sayılar kümesi, $\frac{a}{b}$ şeklinde yazılabilen sayıları içerir (örneğin $\frac{1}{2}$, $\frac{3}{4}$). Eğer $n$ bir rasyonel sayı olursa, örneğin $n = \frac{1}{2}$ ise, $f(x) = x^{1/2} = \sqrt{x}$ olur. Bu ifade bir polinom değildir çünkü $x$ kök içinde yer almaktadır.
-
D) Gerçek sayılar ($\mathbb{R}$): Gerçek sayılar kümesi, rasyonel ve irrasyonel tüm sayıları içerir (örneğin $\sqrt{2}$, $\pi$). Eğer $n$ irrasyonel bir sayı olursa, örneğin $n = \sqrt{2}$ ise, $f(x) = x^{\sqrt{2}}$ olur. Bu ifade de bir polinom değildir.
-
4. Sonuç:
$f(x) = x^n$ şeklindeki bir fonksiyonun polinom olabilmesi için $n$ üssünün negatif olmayan bir tam sayı olması gerekir. Bu tanım, doğal sayılar kümesine karşılık gelir.
Cevap B seçeneğidir.
