Bir öğretmen tahtaya p⇒q ≡ p'∨q yazıyor ve öğrencilerden bu eşdeğerliği kullanarak (p⇒q)⇒r önermesini sadeleştirmelerini istiyor. Doğru sadeleştirme aşağıdakilerden hangisidir?
A) p∨q∨rMerhaba sevgili öğrenciler!
Bugün sizlerle mantık konusundaki önemli bir eşdeğerliği kullanarak karmaşık görünen bir önermeyi adım adım sadeleştireceğiz. Mantıkta sadeleştirme, önermeleri daha anlaşılır ve basit bir forma dönüştürmemizi sağlar. Bu problemde, verilen bir eşdeğerliği iki kez uygulayarak sonuca ulaşacağız.
Öğretmeninizin tahtaya yazdığı temel eşdeğerlik şudur: $p \Rightarrow q \equiv p' \vee q$. Bu, "eğer $p$ ise $q$" önermesinin, "$p$ değil veya $q$" önermesine denk olduğunu söyler. Yani, bir koşullu önermeyi (implication) bir veya (disjunction) önermesine dönüştürebiliriz. Bu kuralı sadeleştirmemizde anahtar olarak kullanacağız.
Sadeleştirmemiz istenen önerme $(p \Rightarrow q) \Rightarrow r$ şeklindedir. Bu önermenin yapısına dikkat edelim. Ana bağlaç yine bir koşullu önermedir. Bu sefer, koşullu önermenin sol tarafı $(p \Rightarrow q)$ ve sağ tarafı $r$'dir.
Şimdi, $p \Rightarrow q \equiv p' \vee q$ kuralını kullanarak ana önermeyi sadeleştirelim. Eğer $A = (p \Rightarrow q)$ ve $B = r$ dersek, önermemiz $A \Rightarrow B$ şeklindedir. Kurala göre $A \Rightarrow B \equiv A' \vee B$ olacaktır. Bu durumda, $(p \Rightarrow q) \Rightarrow r \equiv (p \Rightarrow q)' \vee r$ olur.
Şimdi elimizde $(p \Rightarrow q)' \vee r$ ifadesi var. Bu ifadedeki $(p \Rightarrow q)'$ kısmını sadeleştirmemiz gerekiyor. Önce parantez içindeki $p \Rightarrow q$ ifadesini yine $p \Rightarrow q \equiv p' \vee q$ kuralını kullanarak dönüştürelim:
$p \Rightarrow q \equiv p' \vee q$
Şimdi bu ifadenin değilini alalım:
$(p \Rightarrow q)' \equiv (p' \vee q)'$
$(p' \vee q)'$ ifadesini sadeleştirmek için De Morgan kurallarından birini kullanırız: $(A \vee B)' \equiv A' \wedge B'$.
Bu kuralı $(p' \vee q)'$ ifadesine uygulayalım:
$(p' \vee q)' \equiv (p')' \wedge q'$
Mantıkta bir önermenin değilinin değili, önermenin kendisine eşittir: $(A')' \equiv A$.
Bu kuralı $(p')'$ ifadesine uygulayalım:
$(p')' \equiv p$
Böylece, $(p' \vee q)' \equiv p \wedge q'$ sonucuna ulaşırız.
Şimdi bulduğumuz $(p \Rightarrow q)' \equiv p \wedge q'$ ifadesini Adım 3'teki $(p \Rightarrow q)' \vee r$ ifadesine yerine yazalım:
$(p \Rightarrow q) \Rightarrow r \equiv (p \wedge q') \vee r$
Elde ettiğimiz son sadeleştirilmiş ifade $(p \wedge q') \vee r$ şeklindedir. Şimdi bu ifadeyi verilen seçeneklerle karşılaştıralım:
Gördüğümüz gibi, elde ettiğimiz sonuç B seçeneği ile tamamen aynıdır.
Cevap B seçeneğidir.
