Merhaba sevgili öğrenciler! Bu soruda trigonometrik denklemleri çözme becerimizi kullanacağız. Özellikle, tümler açılar arasındaki sinüs ve kosinüs ilişkisini hatırlamamız gerekiyor. Haydi adım adım bu denklemi çözelim ve $x$ açısını bulalım!
-
1. Adım: Tümler Açı İlişkisini Hatırlayalım
Trigonometride çok önemli bir kural vardır: Bir açının sinüsü, o açının $90^\circ$'ye tamamlayıcısının kosinüsüne eşittir. Yani, $\sin \theta = \cos(90^\circ - \theta)$ veya $\cos \theta = \sin(90^\circ - \theta)$'dir.
-
2. Adım: Denklemi Yeniden Yazalım
Bize verilen denklem $\sin x = \cos(2x-30^\circ)$ şeklindedir. Eşitliğin her iki tarafını da aynı trigonometrik fonksiyon cinsinden yazmak için $\sin x$ ifadesini $\cos(90^\circ - x)$ olarak değiştirebiliriz.
Böylece denklemimiz şu hale gelir:
$\cos(90^\circ - x) = \cos(2x - 30^\circ)$
-
3. Adım: Açıları Eşitleyelim
Eğer $\cos A = \cos B$ ise, bu durumda $A = B + k \cdot 360^\circ$ veya $A = -B + k \cdot 360^\circ$ (burada $k$ bir tam sayıdır) olmalıdır. Ancak, soruda $0^\circ < x < 90^\circ$ koşulu verildiği için, açılarımızın dar açılar veya dar açılara yakın değerler alacağını düşünebiliriz. Bu durumda genellikle $A=B$ veya $A=-B$ durumları yeterli olur.
Durum 1: Açıların Eşit Olması
$90^\circ - x = 2x - 30^\circ$
Şimdi $x$ terimlerini bir tarafa, sabit terimleri diğer tarafa toplayalım:
$90^\circ + 30^\circ = 2x + x$
$120^\circ = 3x$
Her iki tarafı $3$'e bölelim:
$x = \frac{120^\circ}{3}$
$x = 40^\circ$
-
4. Adım: Bulduğumuz Açıyı Kontrol Edelim
Bulduğumuz $x = 40^\circ$ değeri, soruda verilen $0^\circ < x < 90^\circ$ koşulunu sağlamaktadır.
Orijinal denklemde yerine koyarak sağlamasını yapalım:
$\sin(40^\circ) = \cos(2 \cdot 40^\circ - 30^\circ)$
$\sin(40^\circ) = \cos(80^\circ - 30^\circ)$
$\sin(40^\circ) = \cos(50^\circ)$
Evet, $\sin(40^\circ)$ ile $\cos(50^\circ)$ birbirine eşittir çünkü $40^\circ + 50^\circ = 90^\circ$'dir. Bu da çözümümüzün doğru olduğunu gösterir.
-
5. Adım: Diğer Durumu İnceleyelim (Gerekirse)
Durum 2: Açıların Negatifinin Eşit Olması
$90^\circ - x = -(2x - 30^\circ)$
$90^\circ - x = -2x + 30^\circ$
$2x - x = 30^\circ - 90^\circ$
$x = -60^\circ$
Bu değer, $0^\circ < x < 90^\circ$ aralığında değildir, bu yüzden bu durumdan geçerli bir çözüm gelmez.
Bu durumda, denklemi sağlayan tek $x$ değeri $40^\circ$'dir.
Cevap B seçeneğidir.
