Merhaba sevgili öğrenciler!
Bu problemde, farklı büyüklükteki tekerleklerin attığı tur sayıları arasındaki ilişkiyi bulmamız isteniyor. Bir tekerleğin attığı tur sayısı ile katettiği mesafe arasında doğrudan bir bağlantı vardır. Bir tekerlek bir tam tur attığında, çevresi kadar yol alır. İki tekerleğin aynı mesafeyi katettiğini varsayarak soruyu adım adım çözelim.
- 1. Adım: Yarıçapları ve Çevreleri Anlayalım
- Soruda bize iki tekerleğin yarıçapları oranının $3:4$ olduğu verilmiş. Bu, küçük tekerleğin yarıçapına $r_k$ ve büyük tekerleğin yarıçapına $r_b$ dersek, $r_k : r_b = 3 : 4$ demektir. Yani, $r_k = 3x$ ve $r_b = 4x$ diyebiliriz (buradaki $x$ bir orantı sabitidir).
- Bir tekerleğin çevresi $C = 2\pi r$ formülüyle bulunur.
- Küçük tekerleğin çevresi: $C_k = 2\pi r_k = 2\pi (3x) = 6\pi x$
- Büyük tekerleğin çevresi: $C_b = 2\pi r_b = 2\pi (4x) = 8\pi x$
- 2. Adım: Kat Edilen Mesafeyi Belirleyelim
- Bir tekerleğin kat ettiği toplam mesafe, attığı tur sayısı ile çevresinin çarpımına eşittir.
- Küçük tekerlek 200 tam tur attığına göre, kat ettiği toplam mesafe:
- $M_k = \text{Tur Sayısı} \times \text{Çevre} = 200 \times C_k = 200 \times (6\pi x) = 1200\pi x$
- 3. Adım: Büyük Tekerleğin Tur Sayısını Bulalım
- İki tekerleğin aynı mesafeyi katettiğini varsayıyoruz (örneğin, aynı yol üzerinde yuvarlanıyorlar). Bu durumda, küçük tekerleğin katettiği mesafe, büyük tekerleğin katettiği mesafeye eşit olmalıdır.
- $M_b = \text{Büyük Tekerleğin Tur Sayısı} \times \text{Büyük Tekerleğin Çevresi}$
- $M_k = M_b$ olduğu için:
- $1200\pi x = \text{Büyük Tekerleğin Tur Sayısı} \times (8\pi x)$
- 4. Adım: Denklemi Çözelim
- Denklemdeki $\pi$ ve $x$ ifadeleri her iki tarafta da olduğu için sadeleşir:
- $1200 = \text{Büyük Tekerleğin Tur Sayısı} \times 8$
- Şimdi büyük tekerleğin tur sayısını bulmak için 1200'ü 8'e bölelim:
- $\text{Büyük Tekerleğin Tur Sayısı} = \frac{1200}{8}$
- $\text{Büyük Tekerleğin Tur Sayısı} = 150$
Yani, küçük tekerlek 200 tam tur attığında, büyük tekerlek 150 tam tur atar.
Cevap C seçeneğidir.
