Koordinat sisteminde apsis ve ordinat Test 1

Koordinat sisteminde J(2,k) noktasının orijine olan uzaklığı \(2\sqrt{5}\) birim olduğuna göre, k'nin alabileceği değerler toplamı kaçtır?

A) -4
B) -2
C) 0
D) 4

Bu soruda, koordinat sisteminde bir noktanın orijine olan uzaklığını kullanarak bilinmeyen bir değeri bulacağız. Adım adım ilerleyelim:

• 1. Adım: Orijin ve Verilen Noktayı Belirleyelim. Orijin (başlangıç noktası) koordinatları $O(0, 0)$'dır. Verilen nokta $J(2, k)$'dir. Bu iki nokta arasındaki uzaklık $2\sqrt{5}$ birim olarak verilmiştir.
• 2. Adım: İki Nokta Arasındaki Uzaklık Formülünü Hatırlayalım. Koordinat sisteminde $(x_1, y_1)$ ve $(x_2, y_2)$ noktaları arasındaki uzaklık $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$ formülü ile bulunur.
• 3. Adım: Formülü Uygulayalım. Orijin için $x_1 = 0$, $y_1 = 0$ ve $J$ noktası için $x_2 = 2$, $y_2 = k$ değerlerini formülde yerine yazalım. Uzaklık $d = 2\sqrt{5}$ birimdir. $2\sqrt{5} = \sqrt{(2 - 0)^2 + (k - 0)^2}$ $2\sqrt{5} = \sqrt{2^2 + k^2}$ $2\sqrt{5} = \sqrt{4 + k^2}$
• 4. Adım: Denklemi Çözelim. Eşitliğin her iki tarafının karesini alarak karekökten kurtulalım: $(2\sqrt{5})^2 = (\sqrt{4 + k^2})^2$ $2^2 \times (\sqrt{5})^2 = 4 + k^2$ $4 \times 5 = 4 + k^2$ $20 = 4 + k^2$ Şimdi $k^2$'yi yalnız bırakalım: $k^2 = 20 - 4$ $k^2 = 16$
• 5. Adım: $k$'nin Alabileceği Değerleri Bulalım. Hangi sayının karesi $16$ eder? Hem pozitif hem de negatif iki değer vardır. $k = \sqrt{16}$ veya $k = -\sqrt{16}$ Yani, $k = 4$ veya $k = -4$.
• 6. Adım: $k$'nin Alabileceği Değerler Toplamını Bulalım. $k$'nin alabileceği değerler $4$ ve $-4$'tür. Bu değerlerin toplamı: $4 + (-4) = 0$.

Cevap C seçeneğidir.