0/0 belirsizliği nedir Test 2

$\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{x+4}-2}{x}$ limitinin değeri kaçtır?

A) 0
B) $\frac{1}{2}$
C) $\frac{1}{4}$
D) Belirsiz

Merhaba sevgili öğrenciler!

Bugün sizlerle limit konusunda sıkça karşılaştığımız, belirsizlik içeren bir soruyu adım adım çözeceğiz. Amacımız, bu tür sorulara nasıl yaklaşmanız gerektiğini anlamak ve çözüm tekniklerini öğrenmek.

Soruyu tekrar inceleyelim: $\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{x+4}-2}{x}$ limitinin değeri kaçtır?

• Adım 1: İlk Değerlendirme ve Belirsizlik Tespiti

  Limit sorularında ilk yapmamız gereken, $x$ değerini doğrudan fonksiyonda yerine koymaktır. Eğer belirli bir sayıya ulaşırsak, limitin değeri odur. Eğer belirsiz bir form (örneğin $\frac{0}{0}$ veya $\frac{\infty}{\infty}$) elde edersek, fonksiyonu cebirsel olarak basitleştirmemiz gerekir.

  $x=0$ değerini fonksiyonda yerine koyalım:

  • Pay: $\sqrt{0+4}-2 = \sqrt{4}-2 = 2-2 = 0$
  • Payda: $0$

  Gördüğümüz gibi, $\frac{0}{0}$ belirsizliğini elde ettik. Bu, limitin var olabileceği ancak fonksiyonu daha fazla işlememiz gerektiği anlamına gelir.

• Adım 2: Eşlenikle Çarpma Yöntemi

  Kareköklü ifadeler içeren ve $\frac{0}{0}$ belirsizliği veren limit sorularında en yaygın ve etkili yöntemlerden biri, payı (veya paydayı) eşleniği ile çarpmaktır. Bu işlem, karekökten kurtulmamızı ve ifadeyi basitleştirmemizi sağlar.

  Payımız $\sqrt{x+4}-2$ olduğu için, bunun eşleniği $\sqrt{x+4}+2$'dir. Fonksiyonu hem payını hem de paydasını bu eşlenikle çarpalım:

  $\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{x+4}-2}{x} \times \frac{\sqrt{x+4}+2}{\sqrt{x+4}+2}$

• Adım 3: Payı Basitleştirme

  Eşlenikle çarpma işlemi, $(a-b)(a+b) = a^2-b^2$ özdeşliğini kullanmamızı sağlar. Burada $a = \sqrt{x+4}$ ve $b = 2$'dir.

  Payımız şu hale gelir:

  $(\sqrt{x+4})^2 - (2)^2 = (x+4) - 4 = x$

• Adım 4: İfadeyi Yeniden Yazma

  Şimdi limit ifadesini basitleştirilmiş haliyle tekrar yazalım:

  $\lim_{x \to 0} \frac{x}{x(\sqrt{x+4}+2)}$

• Adım 5: Ortak Çarpanları Sadeleştirme

  $x \to 0$ demek, $x$'in $0$'a çok yakın ama $0$ olmadığı anlamına gelir. Bu yüzden paydaki $x$ ile paydadaki $x$'i sadeleştirebiliriz. Bu adım, belirsizliği ortadan kaldıran kritik adımdır.

  İfade sadeleşince şu şekli alır:

  $\lim_{x \to 0} \frac{1}{\sqrt{x+4}+2}$

• Adım 6: Limiti Tekrar Hesaplama

  Artık sadeleşmiş ifadede $x=0$ değerini yerine koyarak limiti hesaplayabiliriz. Bu ifade artık belirsizlik içermemektedir.

  $\frac{1}{\sqrt{0+4}+2} = \frac{1}{\sqrt{4}+2} = \frac{1}{2+2} = \frac{1}{4}$

Böylece limitin değerini $\frac{1}{4}$ olarak bulmuş olduk.

Cevap C seçeneğidir.