$\lim_{x \to 3} \frac{x^2-5x+6}{x^2-9}$ limiti için aşağıdaki işlemlerden hangisi belirsizliği gidermek için en uygun yöntemdir?
A) L'Hospital kuralı uygulamak
B) Pay ve paydayı çarpanlarına ayırmak
C) Trigonometrik dönüşüm yapmak
D) Değişken değiştirmek
Merhaba sevgili öğrenciler!
Bu limit sorusunda, belirsizliği gidermek için en uygun yöntemi bulmaya çalışacağız. Öncelikle, limitin hangi tür bir belirsizlik içerdiğini anlamak için $x=3$ değerini ifadeye yerine koyalım:
- Pay: $x^2-5x+6 \implies 3^2-5(3)+6 = 9-15+6 = 0$
- Payda: $x^2-9 \implies 3^2-9 = 9-9 = 0$
Gördüğümüz gibi, limit $\frac{0}{0}$ belirsizliği içeriyor. Bu tür belirsizlikleri gidermek için birkaç yöntem bulunur. Şimdi seçenekleri inceleyelim:
- A) L'Hospital kuralı uygulamak: L'Hospital kuralı, $\frac{0}{0}$ veya $\frac{\infty}{\infty}$ belirsizliklerinde pay ve paydanın ayrı ayrı türevini alarak limiti bulmamızı sağlar. Bu kural bu durumda uygulanabilir bir yöntemdir. Ancak, her zaman en temel veya en basit yöntem olmayabilir.
- B) Pay ve paydayı çarpanlarına ayırmak: İfade, payında ve paydasında polinomlar içeren bir rasyonel fonksiyondur. $x \to 3$ için hem pay hem de payda $0$ oluyorsa, bu, her iki polinomun da $(x-3)$ çarpanını içerdiği anlamına gelir. Bu çarpanları bulup sadeleştirmek, belirsizliği ortadan kaldırmanın çok etkili ve genellikle en basit yoludur.
- C) Trigonometrik dönüşüm yapmak: Verilen ifadede herhangi bir trigonometrik fonksiyon bulunmamaktadır. Dolayısıyla, trigonometrik dönüşüm yapmak bu problem için uygun bir yöntem değildir.
- D) Değişken değiştirmek: Değişken değiştirme, genellikle daha karmaşık limit ifadelerini basitleştirmek veya limitin alındığı noktayı değiştirmek için kullanılır. Bu problemdeki ifade zaten basit polinomlardan oluştuğu için değişken değiştirmek gereksiz bir adım olur ve problemi basitleştirmek yerine karmaşıklaştırabilir.
Bu durumda, hem pay hem de payda polinom olduğu ve $x \to 3$ için $0$ olduğu için, her ikisinin de $(x-3)$ çarpanını içermesi kaçınılmazdır. Bu çarpanı bulup sadeleştirmek, belirsizliği gidermenin en doğrudan ve temel cebirsel yoludur. Bu yöntem, L'Hospital kuralına göre daha temel bir matematik bilgisi gerektirir ve genellikle daha az işlem hatası riski taşır.
Şimdi bu yöntemi uygulayalım:
- Payı çarpanlarına ayıralım: $x^2-5x+6 = (x-2)(x-3)$
- Paydayı çarpanlarına ayıralım (iki kare farkı): $x^2-9 = (x-3)(x+3)$
Şimdi limiti yeniden yazalım:
$\lim_{x \to 3} \frac{(x-2)(x-3)}{(x-3)(x+3)}$
$x \to 3$ olduğu için $x \neq 3$ demektir, bu yüzden $(x-3)$ çarpanlarını sadeleştirebiliriz:
$\lim_{x \to 3} \frac{x-2}{x+3}$
Şimdi $x=3$ değerini yerine koyarak limiti hesaplayabiliriz:
$\frac{3-2}{3+3} = \frac{1}{6}$
Bu çözüm, çarpanlara ayırma yönteminin ne kadar etkili ve anlaşılır olduğunu göstermektedir.
Cevap B seçeneğidir.
