Merhaba sevgili öğrenciler! Bu soruda, iki farklı eşitsizliği içeren bir sistemin çözüm kümesini bulmamız isteniyor. Bir eşitsizlik sisteminin çözüm kümesi, sistemdeki tüm eşitsizlikleri aynı anda sağlayan değerlerin kümesidir. Bu tür soruları çözerken, her bir eşitsizliği ayrı ayrı çözüp, bulduğumuz çözüm kümelerinin kesişimini almamız gerekir. Haydi adım adım ilerleyelim!
- Birinci Eşitsizliği Çözelim:
- İlk eşitsizliğimiz $3(x + 4) \geq 2x - 1$.
- Öncelikle parantezi dağıtarak başlayalım:
- $3x + 12 \geq 2x - 1$
- Şimdi $x$ terimlerini bir tarafa, sabit terimleri diğer tarafa toplayalım. Bunun için her iki taraftan $2x$ çıkaralım:
- $3x - 2x + 12 \geq -1$
- $x + 12 \geq -1$
- Şimdi de her iki taraftan $12$ çıkaralım:
- $x \geq -1 - 12$
- $x \geq -13$
- Bu eşitsizliğin çözüm kümesi, $-13$ ve daha büyük tüm sayıları içerir. Aralık olarak ifade edersek, $[-13, \infty)$ şeklindedir. Köşeli parantez, $-13$ sayısının da çözüme dahil olduğunu gösterir.
- İkinci Eşitsizliği Çözelim:
- İkinci eşitsizliğimiz $5x - 2 < 3x + 6$.
- Yine $x$ terimlerini bir tarafa, sabit terimleri diğer tarafa toplayalım. Her iki taraftan $3x$ çıkaralım:
- $5x - 3x - 2 < 6$
- $2x - 2 < 6$
- Şimdi her iki tarafa $2$ ekleyelim:
- $2x < 6 + 2$
- $2x < 8$
- Son olarak, her iki tarafı $2$'ye bölelim. Pozitif bir sayıya böldüğümüz için eşitsizlik yön değiştirmez:
- $x < \frac{8}{2}$
- $x < 4$
- Bu eşitsizliğin çözüm kümesi, $4$'ten küçük tüm sayıları içerir. Aralık olarak ifade edersek, $(-\infty, 4)$ şeklindedir. Normal parantez, $4$ sayısının çözüme dahil olmadığını gösterir.
- Çözüm Kümelerinin Kesişimini Bulalım:
- Sistemin çözüm kümesi, bulduğumuz iki çözüm kümesinin kesişimidir. Yani, hem $x \geq -13$ hem de $x < 4$ koşulunu aynı anda sağlayan $x$ değerlerini bulmalıyız.
- Bu iki koşulu birleştirdiğimizde, $-13 \leq x < 4$ elde ederiz.
- Aralık gösterimiyle bu, $[-13, 4)$ şeklindedir. Bu aralık, $-13$ sayısını dahil ederken, $4$ sayısını dahil etmez.
- Şimdi seçeneklerimize bakalım:
- A) $[-13, 4)$
- B) $(-13, 4]$
- C) $[-13, 4]$
- D) $(-13, 4)$
- Bulduğumuz çözüm kümesi A seçeneği ile aynıdır.
Cevap A seçeneğidir.
