🎓 10. Sınıf Gerçek Sayılarda Tanımlı Karesel Fonksiyonlar ve Nitel Özellikleri Test 1 - Ders Notu
Bu ders notu, 10. sınıf matematik müfredatında yer alan karesel fonksiyonların temel tanımını, grafiklerini (parabol) ve bu grafiklerin nitel özelliklerini anlamanıza yardımcı olmak için hazırlanmıştır. Testte karşılaşabileceğin ana konuları sade bir dille özetliyor.
📌 Karesel (İkinci Dereceden) Fonksiyon Nedir?
Karesel fonksiyonlar, grafiği parabol adı verilen özel bir eğriyi çizen, günlük hayatta birçok alanda karşımıza çıkan önemli matematiksel modellerdir.
- Bir fonksiyonun karesel olabilmesi için genel biçimi f(x) = ax² + bx + c şeklindedir.
- Burada a, b, c birer gerçek sayıdır ve a ≠ 0 olmak zorundadır. Eğer a=0 olursa, fonksiyon doğrusal olur.
- x değişken, f(x) ise fonksiyonun x'e bağlı değerini gösterir (yani y değeridir).
💡 İpucu: "Karesel" ismini, x değişkeninin en yüksek kuvvetinin 2 olmasından alır. Örneğin, f(x) = 3x² - 5x + 2 bir karesel fonksiyondur.
📈 Parabol ve Kollarının Yönü
Karesel fonksiyonların grafiğine "parabol" denir. Parabolün şekli ve kolları, 'a' katsayısının işaretine göre değişir.
- Eğer a > 0 ise (pozitif), parabolün kolları yukarı doğru bakar. Bu durumda fonksiyonun bir minimum değeri vardır.
- Eğer a < 0 ise (negatif), parabolün kolları aşağı doğru bakar. Bu durumda fonksiyonun bir maksimum değeri vardır.
⚠️ Dikkat: 'a' katsayısının mutlak değeri büyüdükçe parabolün kolları y eksenine yaklaşır (daha daralır), küçüldükçe ise x eksenine yaklaşır (daha genişler).
📍 Tepe Noktası (Minimum/Maksimum Değer)
Parabolün en önemli noktalarından biri tepe noktasıdır. Bu nokta, parabolün yön değiştirdiği yerdir ve fonksiyonun en küçük (minimum) veya en büyük (maksimum) değerini verir.
- Tepe noktasının koordinatları T(r, k) ile gösterilir.
- r değeri (tepe noktasının x koordinatı) şu formülle bulunur: r = -b / (2a).
- k değeri (tepe noktasının y koordinatı) ise r değerini fonksiyonda yerine yazarak bulunur: k = f(r).
- Eğer kollar yukarı bakıyorsa (a > 0), k fonksiyonun minimum değeridir.
- Eğer kollar aşağı bakıyorsa (a < 0), k fonksiyonun maksimum değeridir.
📝 Örnek: f(x) = x² - 4x + 3 fonksiyonunda a=1, b=-4. r = -(-4)/(2*1) = 4/2 = 2. k = f(2) = 2² - 4(2) + 3 = 4 - 8 + 3 = -1. Tepe noktası T(2, -1)'dir.
↔️ Simetri Ekseni
Parabol, tepe noktasından geçen dikey bir doğruya göre simetriktir. Bu doğruya simetri ekseni denir.
- Simetri ekseninin denklemi x = r şeklindedir.
- Yani, tepe noktasının x koordinatı (r) aynı zamanda simetri ekseninin denklemidir.
💡 İpucu: Simetri ekseni, parabolün sol ve sağ kanatlarını tam ortadan ikiye böler, tıpkı bir aynanın görüntüyü yansıtması gibi.
🎯 Eksenleri Kestiği Noktalar
Bir parabolün koordinat eksenlerini kestiği noktalar, grafiği çizerken ve fonksiyonu analiz ederken önemli ipuçları verir.
- Y-eksenini Kestiği Nokta: x = 0 yazılarak bulunur. f(0) = a(0)² + b(0) + c = c. Yani parabol y-eksenini (0, c) noktasında keser.
- X-eksenini Kestiği Noktalar (Kökler): y = 0 yazılarak bulunur. ax² + bx + c = 0 denkleminin kökleri, parabolün x-eksenini kestiği noktalardır. Bu kökler diskriminant (Δ) ile belirlenir:
- Δ = b² - 4ac
- Eğer Δ > 0 ise, parabol x-eksenini iki farklı noktada keser (iki farklı gerçek kök var).
- Eğer Δ = 0 ise, parabol x-eksenine teğettir (bir gerçek kök var, çift katlı kök). Tepe noktası x-ekseni üzerindedir.
- Eğer Δ < 0 ise, parabol x-eksenini kesmez (gerçek kök yok).
⚠️ Dikkat: X-eksenini kesen noktalar aynı zamanda fonksiyonun sıfırları veya kökleri olarak da adlandırılır.
📊 Artanlık ve Azalanlık Aralıkları
Bir fonksiyonun değerlerinin arttığı veya azaldığı aralıklar, simetri eksenine göre belirlenir.
- Eğer parabolün kolları yukarı doğruysa (a > 0):
- Fonksiyon, (-∞, r] aralığında azalandır.
- Fonksiyon, [r, +∞) aralığında artandır.
- Eğer parabolün kolları aşağı doğruysa (a < 0):
- Fonksiyon, (-∞, r] aralığında artandır.
- Fonksiyon, [r, +∞) aralığında azalandır.
💡 İpucu: Tepe noktası (x=r), fonksiyonun artanlık ve azalanlık durumunun değiştiği kritik noktadır.
