10. Sınıf Gerçek Sayılarda Tanımlı Karesel Fonksiyonlar ve Nitel Özellikleri Test 1

Gerçek sayılarda tanımlı f(x) = ax² + bx + c fonksiyonunun grafiği x eksenini iki farklı noktada kesmektedir. Buna göre aşağıdakilerden hangisi kesinlikle doğrudur?

A) a > 0
B) b² - 4ac > 0
C) c > 0
D) Fonksiyonun minimum değeri vardır

Merhaba sevgili öğrenciler, bu soruyu adım adım ve anlaşılır bir şekilde çözelim.

Soru: Gerçek sayılarda tanımlı f(x) = ax² + bx + c fonksiyonunun grafiği x eksenini iki farklı noktada kesmektedir. Buna göre aşağıdakilerden hangisi kesinlikle doğrudur?

Çözüm:

• Adım 1: Grafiğin x eksenini kesmesi ne anlama gelir?

  Bir fonksiyonun grafiğinin x eksenini kesmesi, o fonksiyonun köklerinin (yani f(x) = 0 denkleminin çözümlerinin) olduğu anlamına gelir. Bu soruda, fonksiyonun grafiği x eksenini iki farklı noktada kestiği için, fonksiyonun iki farklı reel kökü vardır.

• Adım 2: Diskriminant (Δ) nedir ve ne işe yarar?

  İkinci derece bir denklemin (ax² + bx + c = 0) diskriminantı (Δ), köklerin doğasını belirleyen bir ifadedir. Diskriminant, Δ = b² - 4ac şeklinde hesaplanır.

  • Δ > 0 ise, denklemin iki farklı reel kökü vardır.
  • Δ = 0 ise, denklemin birbirine eşit iki reel kökü (çakışık kök) vardır.
  • Δ < 0 ise, denklemin reel kökü yoktur (karmaşık kökleri vardır).
• Adım 3: Sorudaki bilgiyi diskriminant ile ilişkilendirelim.

  Soruda, fonksiyonun grafiği x eksenini iki farklı noktada kestiği belirtilmişti. Bu, f(x) = 0 denkleminin iki farklı reel kökü olduğu anlamına gelir. Dolayısıyla, diskriminantın (Δ) 0'dan büyük olması gerekir: b² - 4ac > 0.

• Adım 4: Diğer seçenekleri değerlendirelim.
  • A) a > 0: a'nın pozitif olması, parabolün kollarının yukarı doğru olması anlamına gelir. Ancak, x eksenini iki noktada kesen ve kolları aşağı doğru olan (a < 0) paraboller de olabilir. Bu nedenle, a > 0 kesinlikle doğru değildir.
  • C) c > 0: c, fonksiyonun y eksenini kestiği noktayı (y-kesenini) gösterir. y-keseninin pozitif veya negatif olması, x eksenini iki noktada kesme durumunu etkilemez. Bu nedenle, c > 0 kesinlikle doğru değildir.
  • D) Fonksiyonun minimum değeri vardır: a > 0 ise minimum değeri vardır, a < 0 ise maksimum değeri vardır. a'nın işareti hakkında kesin bir bilgiye sahip olmadığımız için bu da kesin doğru değildir.

Sonuç:

Grafiğin x eksenini iki farklı noktada kesmesi, diskriminantın pozitif olması gerektiği anlamına gelir. Bu nedenle, b² - 4ac > 0 kesinlikle doğrudur.

Cevap B seçeneğidir.