9. Sınıf Artan ve Azalan Fonksiyon Nedir? Test 2

Bir f fonksiyonunun türevi f'(x) = (x-1)(x-3)² olarak veriliyor. Buna göre f fonksiyonu aşağıdaki aralıkların hangisinde kesinlikle azalandır?

A) (-∞, 1)
B) (1, 3)
C) (3, ∞)
D) (0, 4)

Merhaba sevgili öğrenciler!

Bu soruda, bir fonksiyonun türevi verilmiş ve fonksiyonun hangi aralıkta kesinlikle azalan olduğunu bulmamız isteniyor. Bir fonksiyonun azalan olduğu aralıkları bulmak için türevinin işaretini incelememiz gerekir. Haydi adım adım bu soruyu çözelim:

• 1. Temel Kuralı Hatırlayalım:

  Bir $f(x)$ fonksiyonunun belirli bir aralıkta kesinlikle azalan olması için, o aralıktaki her $x$ değeri için türevi $f'(x)$'in negatif olması gerekir. Yani $f'(x) < 0$ olmalıdır.

• 2. Türev İfadesini Yazalım:

  Soruda bize $f'(x) = (x-1)(x-3)^2$ olarak verilmiş. Bizim amacımız bu ifadenin ne zaman negatif olduğunu bulmak.

• 3. Eşitsizliği Kuralım:

  Fonksiyonun azalan olduğu aralığı bulmak için $f'(x) < 0$ eşitsizliğini çözmeliyiz:

  $(x-1)(x-3)^2 < 0$

• 4. Çarpanların İşaretlerini İnceleyelim:

  İfade iki ana çarpandan oluşuyor: $(x-1)$ ve $(x-3)^2$.

  • $(x-3)^2$ çarpanı: Bir sayının karesi her zaman sıfıra eşit veya pozitiftir. Yani $(x-3)^2 \ge 0$ her zaman geçerlidir.

    Bu çarpan sadece $x=3$ olduğunda sıfır olur. Diğer tüm $x$ değerleri için $(x-3)^2 > 0$ olacaktır.

  • $(x-1)$ çarpanı: Bu çarpanın işareti $x$ değerine göre değişir.
    • Eğer $x > 1$ ise, $(x-1) > 0$ (pozitif).
    • Eğer $x < 1$ ise, $(x-1) < 0$ (negatif).
    • Eğer $x = 1$ ise, $(x-1) = 0$.
• 5. Eşitsizliği Çözelim:

  Bizim $(x-1)(x-3)^2 < 0$ olmasını istiyoruz. Bir çarpımın negatif olması için çarpanlardan birinin negatif, diğerinin pozitif olması gerekir (veya tek sayıda negatif çarpan olması gerekir).

  $(x-3)^2$ çarpanı her zaman $\ge 0$ olduğu için, çarpımın negatif olabilmesi için:

  • $(x-1)$ çarpanının negatif olması gerekir (yani $x-1 < 0$).
  • Ve $(x-3)^2$ çarpanının sıfır olmaması gerekir (çünkü sıfır olursa tüm çarpım sıfır olur, negatif olmaz). Yani $x \ne 3$ olmalıdır.
• 6. Koşulları Birleştirelim:
  • $x-1 < 0 \implies x < 1$
  • $x \ne 3$

  $x < 1$ koşulu zaten $x \ne 3$ koşulunu sağlar, çünkü $3$ sayısı $1$'den büyük bir sayıdır. Dolayısıyla, sadece $x < 1$ koşulunu sağlayan aralıkta $f'(x)$ kesinlikle negatif olacaktır.

• 7. Azalan Olduğu Aralığı Belirleyelim:

  $x < 1$ koşulu, $(-\infty, 1)$ aralığını ifade eder.

  Bu aralıkta, örneğin $x=0$ için $f'(0) = (0-1)(0-3)^2 = (-1)(9) = -9 < 0$.

• 8. Seçenekleri Kontrol Edelim:
  • A) $(-\infty, 1)$: Bu aralıkta $x < 1$ olduğu için $(x-1)$ negatiftir ve $(x-3)^2$ pozitiftir. Çarpımları negatiftir. Bu aralıkta $f(x)$ kesinlikle azalandır.
  • B) $(1, 3)$: Bu aralıkta $1 < x < 3$ olduğu için $(x-1)$ pozitiftir ve $(x-3)^2$ pozitiftir. Çarpımları pozitiftir. Bu aralıkta $f(x)$ artandır.
  • C) $(3, \infty)$: Bu aralıkta $x > 3$ olduğu için $(x-1)$ pozitiftir ve $(x-3)^2$ pozitiftir. Çarpımları pozitiftir. Bu aralıkta $f(x)$ artandır.
  • D) $(0, 4)$: Bu aralık hem azalan hem de artan kısımları içerir (örneğin $x=0.5$ için azalan, $x=2$ için artan). Dolayısıyla bu aralıkta kesinlikle azalan değildir.

Bu adımları takip ettiğimizde, $f(x)$ fonksiyonunun kesinlikle azalan olduğu aralığın $(-\infty, 1)$ olduğunu buluruz.

Cevap A seçeneğidir.