f(x) = x⁴ - 4x³ + 6x² fonksiyonu veriliyor. Bu fonksiyonun yerel minimum noktasından sonraki davranışı için aşağıdakilerden hangisi doğrudur?
A) Sonsuza kadar azalan kalır
B) Hemen artmaya başlar
C) Sabit kalır
D) Önce artar sonra tekrar azalır
Sevgili öğrenciler, bu soruda bir fonksiyonun yerel minimum noktasından sonraki davranışını inceleyeceğiz. Bunun için türev kavramını kullanacağız. Adım adım ilerleyelim:
- Adım 1: Fonksiyonun Birinci Türevini Bulma
- Bir fonksiyonun artan veya azalan olduğu aralıkları bulmak ve yerel ekstremum noktalarını tespit etmek için birinci türevini alırız.
- Verilen fonksiyon: $f(x) = x^4 - 4x^3 + 6x^2$
- Birinci türevini alalım: $f'(x) = \frac{d}{dx}(x^4 - 4x^3 + 6x^2) = 4x^3 - 12x^2 + 12x$
- Adım 2: Kritik Noktaları Bulma
- Kritik noktalar, birinci türevin sıfır olduğu veya tanımsız olduğu noktalardır. Bu noktalar potansiyel yerel minimum veya maksimum noktalarıdır.
- $f'(x) = 0$ denklemini çözelim: $4x^3 - 12x^2 + 12x = 0$
- Denklemi $4x$ parantezine alalım: $4x(x^2 - 3x + 3) = 0$
- Bu denklemden iki olası durum çıkar:
- $4x = 0 \Rightarrow x = 0$
- $x^2 - 3x + 3 = 0$
- İkinci denklemin diskriminantına ($\Delta = b^2 - 4ac$) bakalım: $\Delta = (-3)^2 - 4(1)(3) = 9 - 12 = -3$.
- Diskriminant negatif olduğu için ($ \Delta < 0 $) ve baş katsayısı pozitif olduğu için ($1 > 0$), $x^2 - 3x + 3$ ifadesi her zaman pozitiftir ve reel kökü yoktur.
- Dolayısıyla, fonksiyonun tek kritik noktası $x = 0$'dır.
- Adım 3: Kritik Noktanın Türünü Belirleme (Yerel Minimum mu, Maksimum mu?)
- Kritik noktanın yerel minimum mu yoksa maksimum mu olduğunu anlamak için birinci türevin işaretini kritik noktanın solunda ve sağında inceleriz.
- $f'(x) = 4x(x^2 - 3x + 3)$ ifadesinde, $x^2 - 3x + 3$ teriminin her zaman pozitif olduğunu biliyoruz. Bu yüzden $f'(x)$'in işareti sadece $4x$ teriminin işaretine bağlıdır.
- $x < 0$ için: Örneğin $x = -1$ alalım. $f'(-1) = 4(-1)((-1)^2 - 3(-1) + 3) = -4(1+3+3) = -4(7) = -28 < 0$.
Bu aralıkta fonksiyon azalandır.
- $x > 0$ için: Örneğin $x = 1$ alalım. $f'(1) = 4(1)(1^2 - 3(1) + 3) = 4(1-3+3) = 4(1) = 4 > 0$.
Bu aralıkta fonksiyon artandır.
- $x=0$ noktasında birinci türev işaretini eksiden artıya değiştirdiği için, $x=0$ noktasında bir yerel minimum vardır.
- Yerel minimum noktasının değeri: $f(0) = 0^4 - 4(0)^3 + 6(0)^2 = 0$. Yani yerel minimum noktası $(0, 0)$'dır.
- Adım 4: Yerel Minimum Noktasından Sonraki Davranışı İnceleme
- Yerel minimum noktası $x=0$'dır. Bu noktadan hemen sonraki davranış, $x > 0$ aralığındaki fonksiyonun davranışıdır.
- Adım 3'te bulduğumuz gibi, $x > 0$ için $f'(x) > 0$'dır.
- Birinci türev pozitif olduğunda, fonksiyon artan demektir.
- Bu durumda, fonksiyon yerel minimum noktasından ($x=0$) hemen sonra artmaya başlar.
Bu analiz sonucunda, fonksiyonun yerel minimum noktasından sonraki davranışının hemen artmaya başlaması gerektiğini görüyoruz.
Cevap B seçeneğidir.
