Bir üçgende en uzun kenar hangisi? Açıya göre nasıl söyleriz? Test 2

Bir üçgende iki kenarın uzunluğu 5 cm ve 7 cm'dir. Bu iki kenar arasındaki açı 120° olduğuna göre, üçüncü kenarın uzunluğu ve üçgenin en uzun kenarı için ne söylenebilir?

A) Üçüncü kenar en kısadır
B) Üçüncü kenar en uzundur
C) 7 cm'lik kenar en uzundur
D) 5 cm'lik kenar en uzundur

Merhaba sevgili öğrenciler!

Bu soruyu çözmek için üçgenlerdeki kenar ve açı ilişkilerini anlamamız ve özellikle Kosinüs Teoremi'ni kullanmamız gerekiyor. Adım adım ilerleyelim:

• 1. Kosinüs Teoremi'ni Hatırlayalım:

  Bir üçgende iki kenarın uzunluğu ($a$ ve $b$) ve bu iki kenar arasındaki açı ($C$) bilindiğinde, üçüncü kenarın ($c$) uzunluğunu bulmak için Kosinüs Teoremi'ni kullanırız. Formül şöyledir: $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(C)$

• 2. Verilen Değerleri Yerine Koyalım:

  Soruda bize verilenler:

  • Birinci kenar ($a$) = $5$ cm
  • İkinci kenar ($b$) = $7$ cm
  • Bu iki kenar arasındaki açı ($C$) = $120^\circ$

  Şimdi bu değerleri Kosinüs Teoremi formülüne yerleştirelim:

  $c^2 = 5^2 + 7^2 - 2 \cdot 5 \cdot 7 \cdot \cos(120^\circ)$

• 3. $\cos(120^\circ)$ Değerini Bulalım:

  Trigonometriden bildiğimiz gibi, $\cos(120^\circ)$ değeri $-\frac{1}{2}$'ye eşittir. (Çünkü $120^\circ$, $180^\circ - 60^\circ$'ye eşittir ve kosinüs ikinci bölgede negatiftir, yani $\cos(120^\circ) = -\cos(60^\circ) = -\frac{1}{2}$).

• 4. Hesaplamayı Yapalım:

  Bulduğumuz $\cos(120^\circ)$ değerini denklemde yerine koyalım:

  $c^2 = 25 + 49 - 2 \cdot 35 \cdot (-\frac{1}{2})$

  $c^2 = 74 - (-35)$

  $c^2 = 74 + 35$

  $c^2 = 109$

  Üçüncü kenarın uzunluğu $c = \sqrt{109}$ cm olarak bulunur.

• 5. Kenar Uzunluklarını Karşılaştıralım:

  Şimdi üçgenin üç kenar uzunluğunu biliyoruz: $5$ cm, $7$ cm ve $\sqrt{109}$ cm. Hangi kenarın en uzun olduğunu bulmak için bu değerleri karşılaştıralım:

  • $5^2 = 25$
  • $7^2 = 49$
  • $(\sqrt{109})^2 = 109$

  Görüldüğü gibi, $109$ değeri $49$'dan ve $25$'ten büyüktür. Bu da $\sqrt{109}$'un diğer kenarlardan daha uzun olduğu anlamına gelir.

  Yani, üçüncü kenar ($\sqrt{109}$ cm) üçgenin en uzun kenarıdır.

• 6. Açı-Kenar İlişkisiyle Doğrulayalım:

  Bir üçgende en büyük açının karşısındaki kenar, her zaman en uzun kenardır. Bize verilen açı $120^\circ$'dir. Bir üçgenin iç açıları toplamı $180^\circ$ olduğu için, $120^\circ$ açısı bu üçgendeki en büyük açı olmak zorundadır (çünkü diğer iki açının toplamı $180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$ olacaktır ve her biri $120^\circ$'den küçük olmak zorundadır). Bu $120^\circ$'lik açının karşısındaki kenar da bizim bulduğumuz üçüncü kenardır. Bu durum, üçüncü kenarın en uzun kenar olduğu sonucunu kesin olarak doğrular.

Tüm bu adımları takip ettiğimizde, üçüncü kenarın üçgenin en uzun kenarı olduğunu açıkça görüyoruz.

Cevap B seçeneğidir.