Dik üçgende yükseklik (Öklid) Test 2

ABC dik üçgeninde [AB] ⊥ [AC] ve [AH] ⊥ [BC]'dir. |BH| = 9 cm ve |AH| = 12 cm olduğuna göre |AC| kaç cm'dir?

A) 15
B) 18
C) 20
D) 24

Sevgili öğrenciler, bu soruda bir dik üçgen ve bu üçgene ait yükseklik bağıntıları (Öklid Bağıntıları) kullanmamız gerekiyor. Adım adım ilerleyerek çözüme ulaşalım:

• 1. Verilenleri Anlayalım:

  Soruda bize bir $ABC$ dik üçgeni verilmiş. Dik açı $A$ köşesindedir ($[AB] \perp [AC]$). Ayrıca, $A$ köşesinden hipotenüs $BC$'ye indirilen yükseklik $AH$'tır ($[AH] \perp [BC]$).

  Bize verilen uzunluklar şunlardır: $|BH| = 9$ cm ve $|AH| = 12$ cm.

  Bizden istenen uzunluk ise $|AC|$'dir.

• 2. Öklid Yükseklik Bağıntısını Kullanarak $|HC|$ Uzunluğunu Bulalım:

  Bir dik üçgende hipotenüse indirilen yüksekliğin karesi, hipotenüs üzerinde ayırdığı parçaların çarpımına eşittir. Bu bağıntıya Öklid Yükseklik Bağıntısı denir.

  Formül: $|AH|^2 = |BH| \cdot |HC|$

  Verilen değerleri yerine yazalım:

  $12^2 = 9 \cdot |HC|$

  $144 = 9 \cdot |HC|$

  Şimdi $|HC|$'yi bulmak için her iki tarafı $9$'a bölelim:

  $|HC| = \frac{144}{9}$

  $|HC| = 16$ cm

• 3. Pisagor Teoremini Kullanarak $|AC|$ Uzunluğunu Bulalım:

  Şimdi elimizde $AHC$ dik üçgeni var. Bu üçgenin dik kenarları $AH$ ve $HC$'dir. Hipotenüsü ise $AC$'dir. Pisagor Teoremi'ne göre, bir dik üçgende dik kenarların kareleri toplamı hipotenüsün karesine eşittir.

  Formül: $|AC|^2 = |AH|^2 + |HC|^2$

  Bulduğumuz ve verilen değerleri yerine yazalım:

  $|AC|^2 = 12^2 + 16^2$

  $|AC|^2 = 144 + 256$

  $|AC|^2 = 400$

  Şimdi $|AC|$'yi bulmak için her iki tarafın karekökünü alalım:

  $|AC| = \sqrt{400}$

  $|AC| = 20$ cm

Böylece $|AC|$ uzunluğunu $20$ cm olarak bulmuş olduk.

Cevap C seçeneğidir.