Grad nedir Test 2

Bir elektrik potansiyeli V(x,y,z) = x² + y² + z² ile veriliyor. (1,2,2) noktasındaki elektrik alan vektörü aşağıdakilerden hangisidir? (Not: E = -∇V)

A) (-2, -4, -4)
B) (2, 4, 4)
C) (-1, -2, -2)
D) (1, 2, 2)

Merhaba sevgili öğrenciler, bu soruda bir elektrik potansiyeli fonksiyonu verilmiş ve belirli bir noktadaki elektrik alan vektörünü bulmamız isteniyor. Elektrik potansiyeli ve elektrik alan arasındaki temel ilişkiyi kullanarak adım adım çözüme ulaşacağız.

• Adım 1: Elektrik Alan ve Potansiyel İlişkisini Hatırlayalım

• Elektrik alan vektörü ($E$), elektrik potansiyeli ($V$) fonksiyonunun negatif gradyanı olarak tanımlanır. Bu, bize soruda da ipucu olarak verilmiştir: $E = -\nabla V$.

  Gradyan operatörü ($\nabla$), bir skaler fonksiyonun (burada potansiyel $V$) uzaydaki değişim yönünü ve büyüklüğünü gösteren bir vektör operatörüdür. Kartezyen koordinatlarda şu şekilde ifade edilir:

  $\nabla V = \left( \frac{\partial V}{\partial x} \right) \hat{i} + \left( \frac{\partial V}{\partial y} \right) \hat{j} + \left( \frac{\partial V}{\partial z} \right) \hat{k}$

  Burada $\hat{i}$, $\hat{j}$, $\hat{k}$ sırasıyla $x$, $y$, $z$ eksenleri yönündeki birim vektörlerdir.

• Adım 2: Potansiyel Fonksiyonunu Tanımlayalım

• Bize verilen elektrik potansiyeli fonksiyonu şudur:

  $V(x,y,z) = x^2 + y^2 + z^2$

• Adım 3: Potansiyel Fonksiyonunun Kısmi Türevlerini Hesaplayalım

• Şimdi $V$ fonksiyonunun $x$, $y$ ve $z$'ye göre kısmi türevlerini alalım:

  • $x$'e göre kısmi türev (diğer değişkenleri sabit kabul ederek):
  • $\frac{\partial V}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x} (x^2 + y^2 + z^2) = 2x$
  • $y$'ye göre kısmi türev (diğer değişkenleri sabit kabul ederek):
  • $\frac{\partial V}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y} (x^2 + y^2 + z^2) = 2y$
  • $z$'ye göre kısmi türev (diğer değişkenleri sabit kabul ederek):
  • $\frac{\partial V}{\partial z} = \frac{\partial}{\partial z} (x^2 + y^2 + z^2) = 2z$
• Adım 4: Gradyan Vektörünü Bulalım

• Bulduğumuz kısmi türevleri gradyan formülünde yerine koyalım:

  $\nabla V = (2x) \hat{i} + (2y) \hat{j} + (2z) \hat{k}$

• Adım 5: Elektrik Alan Vektörünü Bulalım

• Elektrik alan $E = -\nabla V$ olduğu için, gradyan vektörünün negatifini almalıyız:

  $E = -((2x) \hat{i} + (2y) \hat{j} + (2z) \hat{k})$

  $E = (-2x) \hat{i} + (-2y) \hat{j} + (-2z) \hat{k}$

  Veya vektör notasyonunda: $E = (-2x, -2y, -2z)$

• Adım 6: Belirtilen Noktadaki Elektrik Alanı Hesaplayalım

• Şimdi elektrik alan vektörünü $(1,2,2)$ noktasında değerlendirelim. Yani $x=1$, $y=2$ ve $z=2$ değerlerini yerine koyalım:

  • $E_x = -2x = -2(1) = -2$
  • $E_y = -2y = -2(2) = -4$
  • $E_z = -2z = -2(2) = -4$

  Böylece $(1,2,2)$ noktasındaki elektrik alan vektörü:

  $E = (-2, -4, -4)$

Bu sonuç, seçeneklerden A seçeneği ile eşleşmektedir.

Cevap A seçeneğidir.